Граница на функция

[Sweetbubble]

[tex]\lim_{n \to \infty}x[/tex] [tex](\sqrt{7n^{2}+5n+2}-\sqrt{7n^{2}-n-3})[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{7n^2+5n+2}-\sqrt{7n^2-n-3})=$

Умножаваме и делим на спрегнатия израз:

$=\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{7n^2+5n+2}-\sqrt{7n^2-n-3})(\sqrt{7n^2+5n+2}+\sqrt{7n^2-n-3})}{\sqrt{7n^2+5n+2}+\sqrt{7n^2-n-3}}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{7n^2+5n+2-(7n^2-n-3)}{\sqrt{7n^2+5n+2}+\sqrt{7n^2-n-3}}=$

Изнасяме $n^2$ от радикалите (квадратните корени) в знаменателя. Извън тях $n^2$ става $n$:

$=\lim_{n\to\infty}\frac{6n+5}{n\left(\sqrt{7+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{7-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}\right)}=$

$=\lim_{n\to\infty}\frac{6+\frac{5}{n}}{\sqrt{7+\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{7-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}}=$

$=\frac{6+0}{\sqrt{7+0+0}+\sqrt{7-0-0}}=\frac{3}{\sqrt{7}}$