Граница на разлика

[Zarrie]

Ще се радвам да видя някакви интересни решения.

asd.jpg (19.51 KiB) Прегледано 770 пъти

[pipi langstrump]

Случайно отговора да е 2ln2 ili sum oburkal neshto?

[pipi langstrump]

Най-близко до акъла е да намерим на коя основна граница прилича и да я докараме до нейния вид и в случая това е тази:

[tex]\lim_{x \to \infty}x(\sqrt[x]{f(x)} - 1) = \lim_{x \to \infty}\ln f(x)[/tex], като тука, естествено [tex]\sqrt[x] {f(x)}[/tex] трябва да клони към 1. Ми това е идеята,другото са преобразувания и сметки.

[Zarrie]

Отговорът е 2.
Ако желаеш разпиши решението си, защото ще ми е интересно да го видя.
Единственото решение, което съм виждал до момента е с развитие в Макларън 2 пъти след някакви преобразувания.

[Добромир Глухаров]

Като използвам основната граница, предложена от pipi langstrump, получавам:

$\lim_{x\to \infty}\left((x+2)^{1+\frac{1}{x}}-x^{1+\frac{1}{x+2}}\right)=$

$=\lim_{x\to \infty}x^{1+\frac{1}{x+2}}\left(\frac{(x+2)^{1+\frac{1}{x}}}{x^{1+\frac{1}{x+2}}}-1\right)=$

$=\lim_{x\to \infty}x^{\frac{1}{x+2}}.\lim_{x\to \infty}x\left(\frac{\sqrt[x]{(x+2)^{x+1}}}{\sqrt[x]{x^{x+1-\frac{2}{x+2}}}}-1\right)=$

$=1.\lim_{x\to\infty}x\left(\sqrt[x]{\frac{(x+2)^{x+1}}{x^{x+1-\frac{2}{x+2}}}}-1\right)=$

$=\lim_{x\to\infty}ln\frac{(x+2)^{x+1}}{x^{x+1-\frac{2}{x+2}}}=$

$=\lim_{x\to\infty}\left((x+1)ln(x+2)-\left(x+1-\frac{2}{x+2}\right)lnx\right)=$

$=\lim_{x\to\infty}\left((x+1)ln{\frac{x+2}{x}}+\frac{2lnx}{x+2}\right)=$

$=ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}\right]+0=$

$=lne^2=2$

[Добромир Глухаров]

Може би не е ясно защо $x^{1+\frac{1}{x+2}}=\sqrt[x]{x^{x+1-\frac{2}{x+2}}}$.

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x(x+2)}\Rightarrow \frac{1}{x+2}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x(x+2)}\Rightarrow x^{1+\frac{1}{x+2}}=x^{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x(x+2)}}=\sqrt[x]{x^{x+1-\frac{2}{x+2}}}$

[pipi langstrump]

Отговорът е 2.
Ако желаеш разпиши решението си, защото ще ми е интересно да го видя.
Единственото решение, което съм виждал до момента е с развитие в Макларън 2 пъти след някакви преобразувания.

Ами нямам толкова нерви да го разпиша, но за твое добро Добромир Глухаров го е направил, въпреки, че по-добре би било ти сам да си я решиш с информацията, която ти дадох.
Да, и с развитие може, но така някак си е по-лесно и интуитивно, поне спорed men. Важното е да можеш да разбереш идеята и да я приложиш, другото е техническа работа.

[pipi langstrump]

$=\lim_{x\to\infty}ln\frac{(x+2)^{x+1}}{x^{x+1-\frac{2}{x+2}}}=$

От тука вече, както си представил степента на знаменателя в такава удобна форма, може и наум да се реши. Делим и числ. и знам. на х^(x+1) и горе става е^2, а долу става [tex]\sqrt[x+2]{x^2}[/tex], което е 1.

[pipi langstrump]

Сега, Zarrie, като знаеш вече как става, пробвай се да намериш следващата поред граница:

[tex]\lim_{x \to \infty}x \left(\left((x+2)^{1+\frac{1}{x}}-x^{1+\frac{1}{x+2}}\right) -2\right)[/tex]