ТОЧКА НА СГЪСТЯВАНЕ

[eli_tshte]

За теоретичната част на изпита по математика може ли да ми обясните тази задача:

Докажете, че редиците {an} и {bn}, където bn= 1/n + an имат едни и същи точки на сгъстяване.

[Nathi123]

По определение [tex]a_{0}[/tex] е точка на сгъстяване на редицата с общ член [tex]a_{ n}[/tex] , ако всяка околност на [tex]a_{0}[/tex] съдържа безброй членове на редицата . Нека [tex]b_{0 }[/tex] e точка на сгъстяване на [tex]b_{n }=a_{n }+\frac{1}{n}[/tex],тогава всяка нейна околност съдържа безброй членове на редицата, значи и безброй членове от редицата [tex]a_{n} \Rightarrow[/tex] е точка на сгъстяване на [tex]a_{n}[/tex].
Ако [tex]a_{0 }[/tex] е точка на сгъстяване на [tex]a_{n }[/tex] и за [tex]\forall \epsilon >0[/tex] неравенството [tex]\frac{1}{n} <\epsilon[/tex] няма да е изпълнено само за краен брой стойности на n , то [tex]\Rightarrow за \forall \epsilon > 0[/tex] безброй членове на редицата [tex]b_{n }=a_{n }+\frac{1}{n} \in (a_{0 }-\epsilon,a_{0 }+\epsilon)\Rightarrow a_{0 }[/tex] e точка на сгъстяване и на [tex]b_{n }[/tex]. Това означава ,че двете редици имат едни и същи точки на сгъстяване.

[drago]

Браво!
Имам само една терминологична забележка за дефиницията:

По определение $a_0$ е точка на сгъстяване на редицата с общ член $a_n$ , ако всяка околност на $a_0$ съдържа безброй членове на редицата

Това разбира се е вярно, но аз предпочитам следната леко по-различна дефиниция:

По определение $a_0$ е точка на сгъстяване на редицата с общ член $a_n$ , ако всяка околност на $a_0$ съдържа поне един член на редицата, различен от $a_0$.

Двете дефиниции са еквивалентни. Защо предпочитам втората ли? Ами защото, ако тя се вземе на "въоръжение" по лесно се проверява с нея. Ако трябва да проверим по дефиниция дали дадена точка е точка на сгъстяване и фиксираме някаква околност, по-лесно ще намерим един член на редицата вътре, отколкото безброй много.

И понеже ми стана интересно, ето два линка към тази дефиниция в wiki- български и английски вариант:
https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BD%D0%B5

https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_point

Изводът: по-добре четете английската версия.

[pipi langstrump]

Докажете, че редиците {an} и {bn}, където bn= 1/n + an имат едни и същи точки на сгъстяване.

Za всяка подредица на аn, която клони към някоя точка на сгъстяване на аn, има подредица на bn, която също клони към тая точка и обратно. Значи всички точки на сгъстяване са едни и същи.