граница на функция- определение според Хайне и Коши

[vgvalentin]

Здравейте! Как ще продължи тази дефиниция:
Казваме, че функцията f(x): R [tex]\rightarrow[/tex] R клони към - [tex]\infty[/tex] (+ [tex]\infty[/tex]) когато х клони към + [tex]\infty[/tex] (-[tex]\infty[/tex]), ако:
(Коши)...
(Хайне)...

[Knowledge Greedy]

Коши:
Казваме, че при [tex]x\rightarrow +\infty[/tex], функцията [tex]f(x)[/tex] клони (дивергира) към [tex]+\infty[/tex], когато при всеки избор на положителната константа [tex]A[/tex], съществува [tex]L[/tex], [tex]L>0[/tex] и такова, че [tex]\forall x>L \,\ \Rightarrow \,\ f(x)>A[/tex]
Пишем: [tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty[/tex]
Хайне:
Казваме, че при [tex]x\rightarrow +\infty[/tex], функцията [tex]f(x)[/tex] клони (дивергира) към [tex]+\infty[/tex], когато при всеки избор на редица [tex]\left \{x_n \right \}^{\infty }_{n=1}[/tex] от реални числа [tex]x_n[/tex], със свойството [tex]\lim_{n \to \infty}x_n=+\infty[/tex], съответната редица от функционални стойности - също реални числа [tex]\left \{f(x_n) \right \}^{\infty }_{n=1}[/tex] е също сходяща, с граница [tex]\lim_{n \to \infty}f(x_n)=+\infty[/tex]

Коши:
Казваме, че при [tex]x\rightarrow +\infty[/tex], функцията [tex]f(x)[/tex] клони (дивергира) към [tex]-\infty[/tex], когато при всеки избор на реалната константа [tex]A[/tex], съществува [tex]L[/tex], [tex]L>0[/tex] и такова, че [tex]\forall x>L \,\ \Rightarrow \,\ f(x)<A[/tex]
(Смисълът е, че при всеки избор на отрицателна константа [tex]A[/tex], колкото и голяма да става тя по модул, всички стойности на функцията стават отрицателни и я надвишават по модул, след определено място [tex]L[/tex] от [tex]\mathbb{R}[/tex])
Пишем: [tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)=-\infty[/tex]
Хайне:
Казваме, че при [tex]x\rightarrow +\infty[/tex], функцията [tex]f(x)[/tex] клони (дивергира) към [tex]+\infty[/tex], когато при всеки избор на редица [tex]\left \{x_n \right \}^{\infty }_{n=1}[/tex] от реални числа [tex]x_n[/tex], със свойството [tex]\lim_{n \to \infty}x_n=+\infty[/tex], съответната редица от функционални стойности - също реални числа [tex]\left \{f(x_n) \right \}^{\infty }_{n=1}[/tex] е също сходяща, с граница [tex]\lim_{n \to \infty}f(x_n)=-\infty[/tex].
...
In nomine Copy et Paste et Concatenatio sancti. Amen!