Граница на редица

[inveidar]

Пресметнете границата [tex]\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n^2})^n[/tex].

[aifC]

Първи опит:

[tex]\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\left(e^{nln}\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \Rightarrow g(n) = nln \cdot \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right),f(u) = e^{u};[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}\left(nln\cdot\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \Rightarrow \left(\frac{ ln\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}{\frac{1}{n}}\right) =
\left(\frac{-\frac{2}{n(n^{2}+1)}}{-\frac{1}{n^{2}}}\right) = \left(\frac{2n}{n^{2}+1}\right) = 0;[/tex]

[tex]\lim_{u \to 0}(e^{u}) = 1;[/tex]

[Добромир Глухаров]

$a_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}$

$b_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}$ - растяща, ограничена отгоре: $b_n<3$

$\Rightarrow1<a_n<\sqrt[n]{3}=3^{\frac{1}{n}}\to3^0=1$

Май имаше някаква теорема за двамата полицаи...

[Davids]

Абе да питам, гледам отговора съвпада, а и теоретически дупки (с досегашните си познания) не виждам, та не можем ли просто да го караме през просото:
$\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n^2})^n = (1 + 0)^{\infty} = 1$

[Добромир Глухаров]

Е, то по тази логика $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=(1+0)^{\infty}=1$. Да, ама не: знаем, че $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\approx2,718281828$.

[Davids]

Е, то по тази логика $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=(1+0)^{\infty}=1$. Да, ама не: знаем, че $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\approx2,718281828$.

Вие знаете, аз сега разбирам

[Добромир Глухаров]

Доказателства.

[inveidar]

[tex](1-\frac{1}{n^2})^n<(1+\frac{1}{n^2})^n<(1+\frac{1}{n^2-1})^n[/tex]
Остава да направите граничен преход и да намерите границите на лявата и дясната редици.