Граница на редица

[Петър Евгениев]

Намерете границата на редицата:
a)[tex]a_{n}=\frac{3}{5^{n}}[/tex]
б)[tex]a_{n}=(0,12)^{n}[/tex]
в)[tex]a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{3^{2n}}[/tex]

[Добромир Глухаров]

а.) $|a_n|<\varepsilon;\ \left|\frac{3}{5^n}\right|<\varepsilon;\ \frac{3}{5^n}<\varepsilon;\ 5^n>\frac{3}{\varepsilon};\ n>log_5\frac{3}{\varepsilon}$

Получихме, че за всяко $n>log_5\frac{3}{\varepsilon}\Rightarrow|a_n|<\varepsilon$, следователно съгласно Теорема за сходящите редици, $\{a_n\}_1^{\infty}$ е сходяща и има граница 0.

Аналогично можем да намерим, че другите редици също имат граница 0.

[ptj]

a)[tex]\lim_{n\to +\infty}\frac{3}{5^{n}}=[\frac{3}{+\infty}]=0[/tex]

б)[tex]\lim_{n\to +\infty} (0,12)^{n}=0[/tex] - монотонно намаляща и ограничена отляво от [tex]0[/tex], а отдясно от [tex]\frac{1}{2^n}[/tex], чиято граница е [tex]0[/tex].

в)[tex]\lim_{n\to +\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{3^{2n}}=0[/tex] - ограничена от ляво от [tex]\{\frac{-1}{3^{2n}}\}[/tex], а от дясно от [tex]\{\frac{1}{3^{2n}}\}[/tex]. Границата и на двете е 0.

[Добромир Глухаров]

Иначе с училищни знания (за показателната функция) всички редици са от вида $a_n=k.b^n$, където $0<b<1$, следователно $a_n\to0$

[Петър Евгениев]

Благодаря ти разбрах ги, аз бях "разбрал" теорията , обаче не можех да я прилагам... сега обаче разбрах вече.