Пак граница

[Петър Евгениев]

Да се докаже, че [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}}{3^{n}}=0[/tex]
И сега, ако редицата е монотонна, демек или само расте или само намалява,или да е няква константна примерно 3,3,3,3,3..(каквато не е ), и числото 0 в случая я ограничава съотвенто отгоре или отдолу, то това число ще е границата на редицата демек сме го доказали.
[tex]a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{3^{n+1}}\Rightarrow a_{n+1}-a_{n}=\frac{n^{2}+2n+1}{3^{n}.3}-\frac{n^{2}}{3^{n}}=\frac{n^{2}+2n+1-3n^{2}}{3^{n}.3}=\frac{-2n^{2}+2n+1}{3^{n}.3}[/tex]
Сега за да докажа, че е монотонна или трябва [tex]a_{n+1}-a_{n}\le0[/tex] или [tex]a_{n+1}-a_{n}\ge0[/tex] за всяко [tex]n[/tex]{1,2,3,...n...}
Обаче аз получвам това по-горе:[tex]\frac{n^{2}+2n+1-3n^{2}}{3^{n}.3}[/tex], Което не може да е, нито [tex]\le0[/tex],нито [tex]\ge0[/tex] за всяко естествено n.
Аз ли мисля грешно или

[grav]

Не е нужно да е вярно за всяко естествено число. Достатъчно е ако е вярно за всяко естествено число по-голямо от дадено число, например за всяко [tex]n[/tex] по-голямо от 10.

[Петър Евгениев]

Не е нужно да е вярно за всяко естествено число. Достатъчно е ако е вярно за всяко естествено число по-голямо от дадено число, например за всяко [tex]n[/tex] по-голямо от 10.

Ааааааа, нужно е просто от някво число нататък да бъде примеро само + или само минус в случая като гледам ще бъде само минус и ще бъде намаляваще от няъде ... значи, ако 0 я ограничава отдолу границата е доказана, демек: [tex]\frac{n^{2}}{3^{n}}\ge0[/tex],,което очевидно е вярно и това стига за доказателството.
Това което ме обърква е, че досега ВИНАГИ съм го правил и знаел така : една редица е монотонна само, ако [tex]a_{n+1}-a_{n}\ge/\le0 \forall
n[/tex], и сега тук изведнъж за всяко по-голямо от 2 в случая е.

[grav]

Да, но това само доказва, че има граница. Все още не е доказано, че границата е нула.

[Петър Евгениев]

Да, но това само доказва, че има граница. Все още не е доказано, че границата е нула.

Е как да докажа,че границата е нула, щом не стига това [tex]\frac{n^{2}}{2^{n}}\ge0 \forall n[/tex]

[ptj]

Може с "теорема на Лопитал", т.е. граница на частното от производните (2 пъти).

---------------------------------------------------------------
Относно доказателството:
[tex]\frac{n^2}{3^n}[/tex] е редица с положителни членове, тогава нейната граница е [tex]0[/tex], тогава и само тогава когато от някое [tex]n_1[/tex] нагоре тя е монотонно намаляваща.

Можеш да намериш подходяща стойност за [tex]n_1[/tex] като рeшиш [tex]n^2=3^n[/tex] .

После остава да докажеш, че над тази стойност - частното, т.е [tex]3^n[/tex] расте по-бързо от числителя [tex]n^2[/tex].

Най-лесно е с производни ( което си е точно спомената теорема).

[Петър Евгениев]

Може с "теорема на Лопитал", т.е. граница на частното от производните (2 пъти).

С материал за 11 клас, де
С Лопитал, доколкото знам се прави когато е безкрайност върху безкрайност и нула върху нула и зимаш производните, но не се зачита не съм го учил, + че задачата е предвидена да се реши нали с друго

[grav]

[tex]\frac1n\ge\frac{n^2}{3^n}[/tex]

[ptj]

Виж добавката.

[Nathi123]

[tex]3^{n}=(1+2)^{n}=1+n.2+\frac{n(n-1).2^{2}}{2}+\frac{n(n-1)(n-2).2^{3}}{6}+...+2^{n}[/tex] Биномна формула на Нютон
[tex]\Rightarrow 3^{n}> \frac{n(n-1)(n-2).8}{6}\Rightarrow \frac{1}{3^{n}} < \frac{3}{4n(n-1)(n-2)} |.n^{2}\Rightarrow[/tex]
[tex]0< \frac{n^{2}}{3^{n}}<\frac{3n^{2}}{4n(n-1)(n-2)} ; \lim_{n \to \infty}\frac{3n^{2}}{4n(n-1)(n-2)} =0[/tex]
[tex]\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}}{3^{n}}=0[/tex].

[inveidar]

Абре, хора, вие четете ли си учебниците?! С индукция се доказва елементарно, че [tex]\frac{n^2}{3^n}<1[/tex] за всяко естествено [tex]n[/tex], а след това има теорема, която гласи, че границата на [tex]q^n[/tex] е нула при [tex]|q|<1[/tex].

[grav]

Абре, хора, вие четете ли си учебниците?! С индукция се доказва елементарно, че [tex]\frac{n^2}{3^n}<1[/tex] за всяко естествено [tex]n[/tex], а след това има теорема, която гласи, че границата на [tex]q^n[/tex] е нула при [tex]|q|<1[/tex].

Na kakvo e ravno q?

[inveidar]

Абре, хора, вие четете ли си учебниците?! С индукция се доказва елементарно, че [tex]\frac{n^2}{3^n}<1[/tex] за всяко естествено [tex]n[/tex], а след това има теорема, която гласи, че границата на [tex]q^n[/tex] е нула при [tex]|q|<1[/tex].

Na kakvo e ravno q?

Трия си мнението!