Неперово число

[Петър Евгениев]

Да се докаже, че [tex]\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e[/tex] (със знания за 11 клас). Който каже нещо интересно от къде идва това и т.н това е бонус.

[aifC]

[tex]\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{k}{n}\right)^{n} = e^{k}; \Rightarrow e^{1} = e;[/tex]

[Добромир Глухаров]

Интересно свойство на числото $e$ е, че ако $f(x)=e^x$, то $f'(x)=e^x=f(x)$. Как се доказва това?

Нека $f(x)=log_ex$. Тогава обратната функция $f^{-1}(y)=e^y$ ще има производна, реципрочна на производната на $f(x)$. Остава да докажем, че $f'(x)=\frac{1}{x}$. Тогава $(f^{-1}(y))'_{y_0}=\frac{1}{f'(e^y)|_{y_0}}=\frac{1}{\frac{1}{e^{y_0}}}=e^{y_0}=f^{-1}(y_0)$. Или $(f^{-1}(y))'_{y_0}=f^{-1}(y_0)\Rightarrow (e^y)'=e^y$

Колкото до $f'(x)=\frac{1}{x}$, това се доказва така:

$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{log_e(x_0+h)-log_ex_0}{h}=$

$=\lim_{h\to0}log_e\left(\frac{x_0+h}{x_0}\right)^{\frac{1}{h}}=log_e\lim_{h\to0}\left(1+\frac{h}{x_0}\right)^{\frac{1}{h}}=$

$=log_e\lim_{\frac{1}{h}\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x_0}{h}}\right)^{\frac{1}{h}}=$

$=log_e\left[\lim_{\frac{x_0}{h}\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x_0}{h}}\right)^{\frac{x_0}{h}}\right]^{\frac{1}{x_0}}=$

$=log_ee^{\frac{1}{x_0}}=\frac{1}{x_0}$

[Добромир Глухаров]

А $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ се доказва в общи черти така:

1) $a_1=(1+\frac{1}{1})^1=2;\ a_2=(1+\frac{1}{2})^2=1,5^2=2,25>a_1;...;a_{k+1}>a_k$

$a_k=\left(1+\frac{1}{k}\right)^k=1+{k\choose1}\cdot\frac{1}{k}+{k\choose2}\cdot\frac{1}{k^2}+{k\choose3}\cdot\frac{1}{k^3}+\cdots+{k\choose k-1}\cdot\frac{1}{k^{k-1}}+\frac{1}{k^k}$

$a_k=1+1+\frac{k(k-1)}{2}\cdot\frac{1}{k^2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}\cdot\frac{1}{k^3}+\cdots+\frac{k(k-1)(k-2)...2}{(k-1)!}\cdot\frac{1}{k^{k-1}}+\frac{1}{k^k}$

$a_k=1+1+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{k}\right)\left(1-\frac{2}{k}\right)+\cdots+\frac{1}{(k-1)!}\cdot\left(1-\frac{1}{k}\right)\left(1-\frac{2}{k}\right)\cdots\left(1-\frac{k-2}{k}\right)+\frac{1}{k^k}$

Аналогично $a_{k+1}=1+1+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)+\frac{1}{3!}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)\left(1-\frac{2}{k+1}\right)+\cdots+\frac{1}{(k-1)!}\cdot\left(1-\frac{1}{k+1}\right)\left(1-\frac{2}{k+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-2}{k+1}\right)+\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{k+1}\right)\left(1-\frac{2}{k+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{k+1}\right)+\frac{1}{(k+1)^{k+1}}$

Виждаме, че $a_{k+1}>a_k\Rightarrow$ редицата $a_n$ е растяща.

Но $a_n<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}<2+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3\Rightarrow \{a_n\}_{n=1}^{\infty}$

е сходяща.

[ptj]

Ето ви един интересен факт:
[tex]\lim_{n\to +\infty}\bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^n=\lim_{n\to +\infty}\bigg(\frac{n}{n-1}\bigg)^n=e[/tex]

Първата редица е монотонно растяща, втората- монотонно намаляваща.
Тогава ако успеете да докажете, че тяхната разлика е безкрайно малка, то автоматично ще следва равенство на границите на двете редици.

[Genie_Almo]

Константата $e$ има своето значимо място и в икономиката. Една от нейните прояви в тази свера е при паричните взаимоотношения и при осигуряване на т. нар. еквивалентност на парите по отношение на времето.

Когато става въпрос за лихви, най-често разглежданият метод е "капитализация на лихвата" или по-известен като сложно олихвяване.
Да разгледаме следния пример: Разполагаме със сума 1лв., която се олихвява с номинална годишна лихва $i$ при месечно олихвяване. Стандартно, за да разберем с колко ще разполагаме в края на първата година, изчисляваме релативната лихва (частта от лихвата, която се полага на всеки от периодите) като отношение на номиналната лихва и броя на периодите (в случая [tex]\frac{i}{12}[/tex]), след което прилагаме известната формула:

$(1+\frac{i}{12})^{12}$ (1) , което ни показва сумата, която ще сме натрупали в края на първата годината.

По същия начин можем да разгледаме и схема с олихвяване на дневна база. Тогава броят на периодите ще е 365, а вкрая на годината ще сме натрупали:

$(1+\frac{i}{365})^{365}$ (2)

Вече е ставало на въпрос при други разговори, че (2)>(1), т.е. за дадена номинална лихва, при увеличаване броя на периодите на олихвяване се увеличава и натрупаното. Общия вид на натрупаното за една година, при схема на олихвяване с $n$ равни периода годишно ще бъде:

$(1+\frac{i}{n})^n$ (3)

Като функцията е растяща (както отбелязват и Добромир Глухаров и ptj).

Досега разгледахме олихвяването като един дискретен процес. В някакви определени точки от времето, нашата сума "превключва" от една стойност към следващата, по-голяма. Нека сега си представим олихвяването като един непрекъснат процес. В реалния живот процесите са най-често такива, реално търговски и финансови взаимоотношения се развиват в различни точки по света във всеки един момент, което оказва своето влияние ежесекундо върху различни икономически параметри (цените например, по-точно инфлацията). По тази причина често се разглеждат модели, при които самите периоди на олихвяване се стесняват максимално, докато започнат да граничат с 0, респ. техният брой се увеличава безкрайно много. И тогава, за да пресметнем натрупаното в края на годината, ни е необходимо да пресметнем границата:

$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{i}{n})^n = e^i$

Което се доказва аналогично на това, което е демонстрирал Добромир, като $i$ е просто параметър (между впрочем, има и други варианти на доказателство на тази граница - може някой от останалите колеги да даде такъв). $e^i$ ни дава и максималната стойност, която бихме могли да получим от един лев инвестиция за една година при номинална годишна лихва $i$ и при модел с капитализация на лихвата. А самата печалба ще бъде $e^i-1$....

Та ето как се появява числото $e$ и в икономиката.

[int]

Ако се иска да се докаже, че [tex]\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/tex], то каква е дефиницията на е?

[Петър Евгениев]

Ако се иска да се докаже, че [tex]\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/tex], то каква е дефиницията на е?

badum- tssss

[Добромир Глухаров]

Ако се иска да се докаже, че [tex]\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/tex], то каква е дефиницията на е?

badum- tssss

$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

Ами тази граница си е точно дефиницията за $e$. Това, което съм написал аз, е опит за доказателство, че границата съществува (равна е на крайно, изчислимо с приближение число, което сме нарекли “е“). И това сме записали с равенството $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$. Ако например редицата с общ член $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ имаше повече от една точка на сгъстяване, границата нямаше да съществува и нямаше как да напишем, че е равна на определено число.