Граница

[veronica]

Пресметнете границата:
lim ( [tex]\sqrt{p^{2} - p + 1}[/tex] + p ) = ?
p->- [tex]\infty[/tex]

Задачата е от тема по математика от УАСГ през 1997 година.
Предварително благодаря!

[martin123456]

[tex]\sqrt{p^2-p+1}+p=\frac{-p+1}{\sqrt{p^2-p+1}-p}[/tex]
[tex]\lim_{p \rightarrow -\infty}{(\sqrt{p^{2} - p + 1}+ p )}=\lim_{p \rightarrow -\infty}{\frac{-p+1}{\sqrt{p^2-p+1}-p}}=\lim_{p \rightarrow -\infty}{\frac{-1+\frac{1}{p}}{\sqrt{1-\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}}-1}}=\frac{-1}{+0}=-\infty[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt{p^2-p+1}+p=\frac{-p+1}{\sqrt{p^2-p+1}-p}[/tex]
[tex]\lim_{p \rightarrow -\infty}{(\sqrt{p^{2} - p + 1}+ p )}=\lim_{p \rightarrow -\infty}{\frac{-p+1}{\sqrt{p^2-p+1}-p}}=\lim_{p \rightarrow -\infty}{\frac{-1+\frac{1}{p}}{\sqrt{1-\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}}-1}}=\frac{-1}{+0}=-\infty[/tex]

Не е вярно.

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt{p^2} =-p[/tex], защото [tex]p->-\infty[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]\lim_{p \rightarrow -\infty}{(\sqrt{p^{2} - p + 1}+ p )}=\lim_{p \rightarrow -\infty}{\frac{-p+1}{\sqrt{p^2-p+1}-p}}=\lim_{p \rightarrow -\infty}{\frac{-1+\frac{1}{p}}{-\sqrt{1-\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}}-1}}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{ 2}[/tex]

[veronica]

И аз съм допуснала същата грешка. Това по принцип вярно ли е...
[tex]\lim_{p \rightarrow -\infty}{\frac{-1+\frac{1}{p}}{\sqrt{1-\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}}-1}}=\frac{-1}{+0}=-\infty[/tex]
защото доколкото знам при получаване на 0 в знаменател трябва да се търси начин да се рационализира, а не да се записва по този начин?

[ganka simeonova]

Не е вярно, защото когато изнасяш извън корена х и ако под корена е бил на четна степен, и ако х клони към минус безкрайност, се изнася -х!

[veronica]

Това го разбрах, питах ако в друга задача се получи такъв ред може ли да се довърши по този начин, или не?

[ganka simeonova]

Нека разгледаме същата задача, но когато х клони към + безкрайност. Тогава имаме:

[tex]\sqrt{p^2-p+1}+p=\frac{-p+1}{\sqrt{p^2-p+1}-p}[/tex]
[tex]\lim_{p \rightarrow +\infty}{(\sqrt{p^{2} - p + 1}+ p )}=\lim_{p \rightarrow +\infty}{\frac{-p+1}{\sqrt{p^2-p+1}-p}}=\lim_{p \rightarrow +\infty}{\frac{-1+\frac{1}{p}}{\sqrt{1-\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}}-1}}=\frac{-1}{+0}=-\infty[/tex]

и това е окончателният отговор.

[mkmarinov]

И как сбора на две граници, които клонят към +безкрай, се оказва граница,която клони към минус безкрай?

[ganka simeonova]

Сори, понеже цитирах преден пост, не съобразих
Значи удачен пример е, да се намери например границата на
[tex]y=p^2-\sqrt{p^2+1} , p->+\infty[/tex]
Тогава ще е безкрайност.