Граница за загрявка

[Петър Евгениев]

Пускам тази граница като загрявка преди да пусна една относително трудна задача.
Пресметнете [tex]\lim_{x \to 0}\frac{(1-cosx)^{2}}{x^{2}-x^{2}cos^{2}x}[/tex]

[Davids]

Първо ще приравним $A = \frac{(1 - cosx)^2}{x^2 - x^2cos^2x} = \frac{(1 - cosx)^2}{x^2sin^2x} = \Big(\frac{1 - cosx}{xsinx}\Big)^2$
И ще използваме, че $\lim_{x \to 0}\sqrt{A} = \sqrt{\lim_{x \to 0}A}$.
Сега търсим $\lim_{x \to 0}\sqrt{A}$ като за по-лесно ще приравним $B = \sqrt{A}$.
Тогава
$B = \frac{1 - cosx}{xsinx} = \frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x.2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}} = \frac{tg\frac{x}{2}}{x}$
Прилагайки правило на Лопитал, имаме, че:
$\lim_{x \to 0}B = \lim_{x \to 0}\frac{tg\frac{x}{2}}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{tg'\frac{x}{2}}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{sec^2\frac{x}{2}}{2}}{1} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{2cos^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{2cos^20} = \frac{1}{2}$

И така окончателно $\lim_{x \to 0}A = (\lim_{x \to 0}B)^2 = \frac{1}{4}$

[Петър Евгениев]

Ето и моето решение.
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{(1-cosx)^{2}}{x^{2}-x^{2}cos^{2}x}=\lim_{x \to 0}\frac{(1-cosx)^{2}}{x^{2}sin^{2}}=\lim_{x \to 0}\left(\frac{1-cosx}{xsinx}\right)^{2}[/tex]
Точно твоя първи ред, само че можеше да кажеш така да не наместваме Лопитал.
[tex]\lim_{x \to 0}\left(\frac{1-cosx}{xsinx}\right)^{2}=\left(\lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{xsinx}\right)^{2}[/tex]
Знаем ,че [tex]sin^{2}\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{2} \Rightarrow 1-cosx=2sin^{2}\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{(1-cosx).(1+cosx)}{xsinx(1+cosx)}=\lim_{x \to 0}\frac{sin^{\cancel{2}}x}{x\cancel{sinx}(1+cosx)}=\lim_{x \to 0}\frac{sin^{\cancel{2}}x}{x\cancel{sinx}(1+cosx)}[/tex] Умножавам числителя и знаменателя с [tex]1+cosx[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x(1+cosx)}=\lim_{x \to 0}\left(\frac{sinx}{x}.\frac{1}{1+cosx}\right)[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1[/tex] основна граница мисля, че няма нужда да я разписваме.
[tex]\lim_{x \to 0}\left(1.\frac{1}{1+1}\right)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{2}[/tex]
Обаче сега да намерим отговора трябва да вдигнем на квадрат т.е. [tex]\frac{1}{4}[/tex]

[S.B.]

Нека и аз пробвам:

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{(1 - cosx)^{2}}{x^{2} - x^{2}cos^{2}x}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 0}\frac{(2sin^{2}\frac{x}{2})^{2}}{x^{2}(1 - cos^{2}x)}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 0}\frac{4sin^{4}\frac{x}{2}}{x^{2}.sin^{2}x}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 0}\frac{4.sin^{4}\frac{x}{2}}{x^{2}.4.sin^{2}\frac{x}{2}.cos^{2}\frac{x}{2}}[/tex] =
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin^{2}\frac{x}{2}}{x^{2}}[/tex] . [tex]\frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{4}.sin^{2}\frac{x}{2}}{\frac{x^{2}}{4}}[/tex] . [tex]\frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}[/tex] = [tex]\lim_{x \to 0}\frac{1}{4}[/tex].[tex](\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2}[/tex] . [tex]\frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}[/tex] = [tex]\frac{1}{4}[/tex].1.1 = [tex]\frac{1}{4}[/tex]