Граници - домашно

[marti4461]

Здравейте. Моля Ви да ми помогнете със следните задачи, защото така и не разбрах задачите с граници.

Задача 1: [tex]lim \sum_{k=1}^{n} \sqrt[3] \frac{n}{2n^{4}+k}[/tex]

Задача 2: [tex]lim {\choose\frac{n-1}{n+2}}^\frac {n}{2}[/tex]

Задача 3: [tex]lim {\choose\frac{n^{2}+5n+6}{n^{2} +3n+2}}^\frac {n}{3}[/tex]

Благодаря!

[KOPMOPAH]

Заради старанието да изпишеш формулите на Latex заслужаваш да ти се отговори веднага
Но все пак напиши към какво се стреми $n$

[marti4461]

n -> +[tex]\infty[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n-1}{n+2}\right)^{\frac{n}{2}}=\left(\frac{\cancel{n}(1-\frac{1}{n})}{\cancel{n}(1+\frac{2}{n})}\right)^{\frac{n}{2}}=\left(\frac{1-0}{1+0}\right)^{\frac{n}{2}}=1^{\infty}=1[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{2}+5n+6}{n^{2}+3n+2}\right)^{\frac{n}{3}}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\cancel{n^{2}}(1+\frac{5}{n}+\frac{6}{n^{2}})}{\cancel{n^{2}}(1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{2}})}\right)^{\frac{n}{3}}=\left(\frac{1+0+0}{1+0+0}\right)^{\frac{n}{3}}=1^{\infty}=1[/tex]

Да разясня малко, понеже съм привърженик на тезата, че е хубаво под задачката да се пусне някоя друга дума. Хора сме все пак.

Идеята е да извадиш най-високата степен пред скоби, така ще остане само число или основна граница от вида [tex]\lim_{n \to \infty}=\frac{a}{n}=0[/tex], [tex]a\in R[/tex]

[Петър Евгениев]

[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{x=1}^{n }\sqrt[3]{\frac{n}{2n^{4}+k}}=\lim_{n \to \infty}\sum_{x=1}^{n }\sqrt[3]{\frac{\cancel{n}}{n^{\cancel{4}}(2+\frac{k}{n^{4}})}}=\lim_{n \to \infty}.\frac{1}{n}\sum_{x=1}^{n }\sqrt[3]{\frac{1}{2+\frac{k}{n^{4}}}}=0.\lim_{n \to \infty}\sum_{x=1}^{n }\sqrt[3]{\frac{1}{2+\frac{k}{n^{4}}}}=0[/tex]

[marti4461]

lim [tex]\sqrt\frac{{n^{2}+1}}{n^{3}+1}[/tex] [tex]\frac{-n}{-n\sqrt{n}}[/tex]

Дробната черта е една, но не ми се получи изписването на формулата. Клони към безкрайност.

[marti4461]

Още една задача:
lim [tex]\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}[/tex] - n

[Петър Евгениев]

lim [tex]\sqrt\frac{{n^{2}+1}}{n^{3}+1}[/tex] [tex]\frac{-n}{-n\sqrt{n}}[/tex]

Дробната черта е една, но не ми се получи изписването на формулата. Клони към безкрайност.

[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{n^{2}-n+1}{n^{3}-n\sqrt{n}+1}}=\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{n^{2}-n+1}{n^{3}-n^{\frac{3}{2}}+1}}=\lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{\cancel{n^{2}}(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{n^{\cancel{3}}(1-\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{n^{3}}}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}.\sqrt{\frac{1-0+0}{1-0+0}}=0[/tex]

[Петър Евгениев]

Още една задача:
lim [tex]\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}[/tex] - n

[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}-n=\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}(1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}})}-n=n\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-n=n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-1)[/tex]
$$***$$
$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}-n=...=\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-1)=\lim_{n \to \infty}n.(\sqrt[3]{1+0+0}-1)=\lim_{n \to \infty}n.0=0$$

[Добромир Глухаров]

@Петър Евгениев: $1^{\infty}\neq1$ и границата на сумата не е $0$ .

[Добромир Глухаров]

Още една задача:
lim [tex]\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}[/tex] - n

[tex]\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}-n=\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}(1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}})}-n=n\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-n=n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-1)[/tex]
$$***$$
$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}-n=...=\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-1)=\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+0+0-1})=\lim_{n \to \infty}n.0=0$$

И това не е вярно. $\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-1)\neq\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+0+0-1})$

[Петър Евгениев]

И това не е вярно. $\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-1)\neq\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+0+0-1})$

Една къдрава скоба по-наляво или по-надясно случва се...

[Добромир Глухаров]

И това не е вярно. $\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^{3}}}-1)\neq\lim_{n \to \infty}n(\sqrt[3]{1+0+0-1})$

Една къдрава скоба по-наляво или по-надясно случва се...

Нямах това предвид - границата е $\frac{1}{3}$

[Петър Евгениев]

Нямах това предвид - границата е $\frac{1}{3}$

Значи съм се уакал

[Добромир Глухаров]

$\sqrt[3]{1+\epsilon}=(1+\epsilon)^{\frac{1}{3}}=1+{\frac{1}{3}\choose1}\epsilon+{\frac{1}{3}\choose2}\epsilon^2+...=1+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)}{2!}\epsilon^2+...$

$\epsilon\to0\Rightarrow\sqrt[3]{1+\epsilon}\sim1+\frac{\epsilon}{3}$

$\lim_{n\to\infty}n\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}+\frac{2018}{n^3}}-1\right)=\lim_{n\to\infty}n\left(1+\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n}\right)-1\right)=$

$=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{3n}+n.o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{1}{3}$

[Добромир Глухаров]

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+n}}\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+k}}\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+1}}$$

$$\lim_{n\to\infty}n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+n}}\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+k}}\leq\lim_{n\to\infty}n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+1}}$$

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{n^4}{2n^4+n}}\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+k}}\leq\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{n^4}{2n^4+1}}$$

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{1}{2+\frac{1}{n^3}}}\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+k}}\leq\lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{\frac{1}{2+\frac{1}{n^4}}}$$

$$\frac{1}{\sqrt[3]{2+0}}\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+k}}\leq\frac{1}{\sqrt[3]{2+0}}$$

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+k}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$

[Добромир Глухаров]

$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n+2}\right)^{\frac{n}{2}}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{3}{n+2}\right)^{\frac{n}{2}}=$

$=\lim_{n+2\to\infty}\left(1-\frac{3}{n+2}\right)^{\frac{n+2}{2}-1}=\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{3}{m}\right)^{\frac{m}{2}}\cdot\left(1-\frac{3}{m}\right)^{-1}=$

$=\lim_{-m\to-\infty}\left(\left(1+\frac{1}{-\frac{m}{3}}\right)^{-\frac{m}{3}}\right)^{-\frac{3}{2}}\cdot\lim_{m\to\infty}\frac{1}{1-\frac{3}{m}}=$

$=\lim_{l\to-\infty}\left(\left(1+\frac{1}{l}\right)^l\right)^{-\frac{3}{2}}\cdot\frac{1}{1-0}=e^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e^3}}$

[Добромир Глухаров]

Ако се чудите защо $\lim_{l\to-\infty}\left(1+\frac{1}{l}\right)^l=e$, то ето:

$\lim_{n\to-\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{-m}=\lim_{m\to\infty}\left(\frac{m-1}{m}\right)^{-m}=$

$=\lim_{m\to\infty}\left(\frac{m}{m-1}\right)^{m}=\lim_{m-1\to\infty}\left(1+\frac{1}{m-1}\right)^{m-1+1}=\lim_{l\to\infty}\left(1+\frac{1}{l}\right)^{l+1}=$

$=\lim_{l\to\infty}\left(1+\frac{1}{l}\right)^l\cdot\lim_{l\to\infty}\left(1+\frac{1}{l}\right)=e.(1+0)=e$

А границата $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\approx2,718281828...$ е основна и за нея само се доказва, че редицата с общ член $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ е сходяща. Самата граница е числото на Ойлер $e$, което е трансцендентно и могат да се пресметнат само негови приближения.

[Knowledge Greedy]

По задача 3.

Принципна грешка.png (17.06 KiB) Прегледано 975 пъти

Винаги, винаги, когато има [tex]n[/tex] в основата и [tex]n[/tex] в степенния показател ([tex]n\rightarrow \infty[/tex]), възниква съмнение за неопределеност от вида [tex]\left [1^{\infty} \right ][/tex].

Един от начините за разкриване на неопределености е с основната граница [tex]\lim_{n\to +\infty}\left (1+\frac{1}{n} \right )^n=е[/tex], която Добромир Глухаров » Нед Ное 11, 2018 5:13 pm отлично е развил по-горе в друга задача.
Първо отделяме [tex]1[/tex]- ца (и се молим да е главна част).
[tex]\lim_{n\to +\infty}\left (\frac{n^2+5n+6}{n^2+3n+2} \right )^{\frac{n}{3}}=\lim_{n\to +\infty}\left (1+\frac{2n+4}{n^2+3n+2} \right )^{\frac{n}{3}}[/tex]
Денят е хубав, на нас ни върви и съкращаваме дробта - второто събираемо в скобите.
[tex]\lim_{n\to +\infty}\left (1+\frac{2}{n+1} \right )^{\frac{n}{3}}[/tex]
Записваме дробта с числител [tex]1[/tex] - целта е да достигнем до формата в основната граница.
[tex]\lim_{n\to +\infty}\left (1+\frac{1}{\frac{n+1}{2}} \right )^{\frac{n}{3}}[/tex]
Идва ред на показателя - и с него правим същото, за да достигнем до формата в основната граница.
[tex]\lim_{n\to +\infty}\left (1+\frac{1}{\frac{n+1}{2}} \right )^{\frac{n+1}{2}.\frac{2n}{3(n+1)}}[/tex]
Целта е постигната, появи се основната граница (но продължаваме да пишем лимес [tex]\lim_{n \to \infty}[/tex]), защото процесът не е завършен.).
[tex]e^{\lim_{n \to \infty}{\frac{2n}{3(n+1)}}}[/tex]
Явно отговорът е [tex]e^{\frac{2}{3}}[/tex] или [tex]\sqrt[3]{e^2}[/tex]
___________________
Друг подход за разкриване на неопределености при граничен преход, само че от вида [tex]\left [ \frac{\infty}{\infty} \right ][/tex] е даден от Петър в анализа на основата и получаването на нейната граница [tex]1[/tex] е направен правилно, но ... връщам се в началото на моята бележка цялата неопределеност е от вида [tex]\left [1^{\infty} \right ][/tex].
___________________
Като прегледах отново всичко написано видях вече и забележката

Цитат на Добри.png (4.86 KiB) Прегледано 974 пъти

и се сетих вица за чукчата, който по време на сесия предпочитал да пише вместо да чете за изпит (това за мене, ей ).

[KOPMOPAH]

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}-n$$
В такива случаи би могла да се използва формулата $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $$
Ето как: $$\lim_{n \to \infty}\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}-n=$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}-n\right)\left(\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}\right)^2+\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}\right).n+n^2\right)}{\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}\right)^2+\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}\right).n+n^2}=$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}\right)^3-n^3}{\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}\right)^2+\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}+2018}\right).n+n^2}=$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{\cancel{n^{3}}+n^{2}+2018-\cancel{n^3}}{\left(n\sqrt[3]{1+\frac 1n+\frac{2018}{n^3}}\right)^2+\left(n\sqrt[3]{1+\frac 1n+\frac{2018}{n^3}}\right).n+n^2}=$$

$$\lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}\left(1+\frac{2018}{n^2}\right)}{n^2\left(\left(\sqrt[3]{1+\frac 1n+\frac{2018}{n^3}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{1+\frac 1n+\frac{2018}{n^3}}\right)+1\right)}=$$
$$\lim_{n \to \infty}\frac{\cancel{n^{2}}\left(1+0\right)}{\cancel{n^2}\left(\left(\sqrt[3]{1+0+0}\right)^2+\left(\sqrt[3]{1+0+0}\right)+1\right)}=\frac 13$$

[Knowledge Greedy]

Забележете, каква неопределеност е разкрил

[tex]\lim_{n \to \infty}(\sqrt[3]{n^3+n^2+2018}-n)[/tex]
...

Първоначално тя е [tex]\left [ \infty - \infty \right ][/tex]

...
В такива случаи би могла да се използва формулата [tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex] ...

А след използване на горната формула неопределеността става от вида [tex]\left [\frac{\infty}{\infty} \right ][/tex], и той я разрешава със съкращаване на подобните безкрайно големи множители - носители на тази неопределеност.
_______________
Като предпоследен съвет: давайте си сметка с какво сте се сблъскали. Така ще насочите усилията в правилна посока и ще намалите шанса за "непредизвикани" грешки.

[KOPMOPAH]

Забележете, каква неопределеност е разкрил

[tex]\lim_{n \to \infty}(\sqrt[3]{n^3+n^2+2018}-n)[/tex]
...

Първоначално тя е [tex]\left [ \infty - \infty \right ][/tex]

...
В такива случаи би могла да се използва формулата [tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex] ...

А след използване на горната формула неопределеността става от вида [tex]\left [\frac{\infty}{\infty} \right ][/tex], и той я разрешава със съкращаване на подобните безкрайно големи множители - носители на тази неопределеност...

Във Вашите уста, професоре, звучи като като един голям комплимент!