Граница

[Петър Евгениев]

Докажете, че ако ъгълът x се измерва в градуси, то [tex]\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=\frac{\pi}{180}[/tex]

[Sup3rlum]

Ооо това е интересна задачка . Приложение на класическия Squeeze Theorem ама в градуси. I like it.

Принципът е същия само, че използваме това което знаем за кръгове, като използваме градуси вместо радиани.

Ще използваме следния чертеж:

Screenshot_13.png (12.97 KiB) Прегледано 1810 пъти

$OB=OC=1$ Това е нашият радиус на тази окръжност.

Нека разгледаме страната $CD$:
$sin(\alpha)=\frac{CD}{1} \Rightarrow CD=sin(\alpha)$

За арката $BC$ знаем че:
$BC=2\pi*\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{\pi\alpha}{180^\circ}$

От геометрична гледна точка, с тривиално доказване знаем че $CD \le BC$
$\Rightarrow sin(\alpha)\le\frac{\pi\alpha}{180^\circ}$

$\Rightarrow \boxed{\frac{sin(\alpha)}{\alpha}\le\frac{\pi}{180^\circ}}$

Сега нека разгледаме $<) OBC$ и $\triangle OBE$:

Първо, $tan(\alpha) = \frac{BE}{OB} = \frac{BE}{1} = \Rightarrow BE = tan(\alpha)$

За лицето $S_{OBC} = \pi*\frac{\alpha}{360^\circ}$

а за лицето $S_{OBE} = \frac{BE*OB}{2}=\frac{tan(\alpha)}{2}$
Геометрично е ясно, че $S_{OBC} \le S_{OBE}$

$\Rightarrow \frac{\pi\alpha}{360^\circ} \le \frac{tan(\alpha)}{2} \Rightarrow \frac{\pi\alpha}{180^\circ} \le \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$

$\Rightarrow \boxed{cos(\alpha)\frac{\pi}{180^\circ} \le \frac{sin(\alpha)}{\alpha}}$

Събираме двете неравенства и слагаме лимита:

$\lim_{\alpha \to 0} \frac{cos(\alpha)\pi}{180^\circ} \le \frac{sin(\alpha)}{\alpha} \le \frac{\pi}{180^\circ}$, но знаем, че $\lim_{\alpha \to 0} cos(\alpha) = 1$

$\Rightarrow \lim_{\alpha \to 0} \frac{\pi}{180^\circ} \le \frac{sin(\alpha)}{\alpha} \le \frac{\pi}{180^\circ}$

$\Rightarrow \boxed{\lim_{\alpha \to 0} \frac{sin(\alpha)}{\alpha} = \frac{\pi}{180^\circ}}$

П.С Надявам се никой няма да се разсърди, че делим наляво надясно без внимание за посоката на неравенството . Тъй като взимаме лимита от положителната страна, $a > 0$ и $cos(x) > 0$ в интервала $[0, \pi)$ няма нужда да сменяме посоката.
Или както доктора казва: прави само четен брой грешки при знаците

[Петър Евгениев]

Бравос

[Sup3rlum]

Още едно интересно нещо което забелязах за този лимит:

Нека $\omega$ е броят на сегментите на които разделяме една окръжност, спрямо центъра. При градусите това е 360, а при радианите това е $2\pi$.

Тогава лимита ще има следната форма:
$\frac{sin(x)}{x}=\frac{2\pi}{\omega}$