Доказателство

[Thisuglymud]

Някой може ли да ми докаже това?
Ако границата на an = а и тази на bn = b, и an<=bn, то а<=b ?

Това, което не разбирам е следното:
В учебника за доказателство се взе епсилон = (а-b)/2 и съответно а>b. После се стигна до
bn<b+[tex]\epsilon[/tex] = a - \epsilon < an.
Но това сякаш ми изглежда грешно. Къде точно е противоречието? Ако от an<=bn следва, че а<b, не трябва ли и от a>b да следва an>bn?

[ptj]

Проблема е, че не разбираш принципа на доказателствата.

Затова ще ти дам един друг начин. Докажи, че границата [tex]a[/tex] не може да бъде по-голяма от [tex]b[/tex].

Подсказка: Всяка произволно малка околност на границата на редица съдържа безброй много нейни членове.

Друга възможност: Извън коя да е околност на точката на сгъстяване на редица се съдържат краен брой нейни членове.

--------------------------------------------------------------------------

По-принцип от известен номер нататък всяка сходяща редица може да се представи като "константа+безкрайно малка". Това е друга интерпретация на определението за граница.

[differenciala]

Здравей. Идеята е да се покаже, че ако твърдението не е вярно (т. е. ако a>b), да се стигне до противоречие с това, че $a_n\leq b_n$. Трикът е именно в избора на $\varepsilon=\frac{a-b}{2}$. Според мен обаче, доста по-лесно, както за формулиране, така и за доказване, е следното твърдение.
Ако една редица от неотрицателни числа е сходяща, то нейната граница е неотрицателна.
От това твърдение, твоето следва непосредствено, като използваш, че $b_n-a_n$ е сходяща редица от неотрицателни числа.
И тъй, нека $a_n\to a$ и $a_n\geq 0$ за всяко $n\in\mathbb{N}$. Твърдим, че $a\geq 0$. Ако това не е така, т. е. ако $a<0$, то от определението за граница на редица имаме, че за всяко $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че при $n>m$ е изпълнено $a_n<a+\varepsilon$. В частност това е вярно когато $\varepsilon=\frac{-a}{2}>0$ и следователно $a_n<a+\varepsilon=a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}<0$, при $n>m$, което е противоречие с $a_n\geq 0$ за всяко $n\in\mathbb{N}$.