Граници на редици

[Гост]

[tex]\lim_{n \to \infty}[/tex] [tex](\frac{n^{2}+2n+3}{2n^{2}-n+5})^{n}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+5}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{1-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}}\sim\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\frac{2}{n}}{1-\frac{1}{n}}=\\=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(1+\frac{2}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)}{1-\frac{1}{n^2}}\sim\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{n}\right)$

По-горе заместваме с еквивалентното поради факта, че $\frac{1}{n^2}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ - $1/n^2$ е безкрайно малко от по-висок ред спрямо $1/n$ при $n\to\infty$.

$\left(\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+5}\right)^n\sim\frac{1}{2^n}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n\sim\frac{e^3}{2^n}\to0$

Така установяваме, че границата е $0$.

[Добромир Глухаров]

Имал съм късмет, че границата е 0, иначе решението може би трябва да бъде по-скоро такова:

$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+5}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\left(\frac{2n^2+4n+6}{2n^2-n+5}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\left(\frac{2n^2-n+5+5n+1}{2n^2-n+5}\right)^n=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\left(1+\frac{5n+1}{2n^2-n+5}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\left(1+\frac{1}{n}\cdot\frac{5n^2+n}{2n^2-n+5}\right)^n=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\left(1+\frac{5}{2n}\cdot\frac{1+\frac{1}{5n}}{1-\frac{1}{2n}+\frac{5}{2n^2}}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\left(1+\frac{5}{2n}\right)^n=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}\cdot e^{\frac{5}{2}}=0$

[vezni]

Дадената граница не е неопределеност, така че може да се реши "директно".
[tex]\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+5}=\frac{1+\frac 2n+\frac{3}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}}\to \frac 12\in (0,1)[/tex] е достатъчно, за да заключим, че границата е [tex]0[/tex].
Малко по-подробно. От горното следва, че за достатъчно големи [tex]n[/tex] са изпълнени неравенствата
[tex]0.4<\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+5}<0.6[/tex]
[tex]\Rightarrow 0,4^n<\left(\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+5}\right)^n<0,6^n[/tex]
Понеже [tex]\lim_{n\to\infty}0,4^n=\lim_{n\to\infty}0,6^n=0[/tex] (основна граница [tex]\lim_{n\to\infty}a^n=0[/tex] за [tex]|a|<1[/tex]), следва, че [tex]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+2n+3}{2n^2-n+5}\right)^n=0[/tex]