Граници на функции

[Гост]

Чрез еквивалентни безкрайно малки функции:

а) [tex]\lim_{x \to 0}[/tex][tex](2x^{3} + 1) ^ {cotg^{3}2x }[/tex]

б) [tex]\lim_{x \to 0}[/tex][tex](\frac{1+tgx}{1+sinx})^{\frac{1}{sin^{3}x}}[/tex]

[ptj]

Използвай границата [tex]\lim_ {x\to 0} \frac{sinx}{x}=1[/tex].
Т. е. смени в твоите граници синуса с аргумента (и двете са безкрайно малки).

П.П. Границите са част от МА, а не от Алгебра.

[vezni]

"Чрез еквивалентни безкрайно малки функции" не ми дава ясна представа какво решение точно се изисква. Може да се ползва следният факт за неопределености [tex]1^\infty[/tex]:
ако [tex]\lim_{x\to x_0}f(x)=1, \lim_{x\to x_0}|g(x)|=\infty[/tex] и [tex]\lim_{x\to x_0}(f(x)-1)g(x)=a[/tex], то [tex]\lim_{x\to x_0}f(x)^{g(x)}=e^a[/tex]

а) [tex]\lim_{x\to 0}(2x^3+1-1)\cotg^3(2x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x^3}{(2x)^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2x^3}{8x^3}=\frac 14[/tex] понеже при [tex]t\to 0[/tex], [tex]\cotg t=\frac{\cos t}{\sin t}\sim \frac 1t[/tex]

От горния факт следва, че границата е [tex]e^{\frac 14}[/tex]

б) [tex]\lim_{x\to 0}\left(\frac{1+\tg x}{1+\sin x}-1\right)\frac{1}{\sin^3 x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tg x-\sin x}{(1+\sin x)\sin^3 x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tg x-\sin x}{\sin^3 x}=\frac{\frac{1}{\cos x}-1}{\sin^2 x}[/tex]

[tex]=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{\cos x \sin^2 x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}=\frac 12[/tex] използвайки [tex]1-\cos t\sim \frac{t^2}{2}[/tex] и [tex]\sin t\sim t[/tex] при [tex]t\to 0[/tex]

Оттук търсената граница е [tex]e^{\frac 12}=\sqrt{e}[/tex]

[Гост]

Само две думи за светинята на неопределеностите от вида $1^{\infty}$.
Ако $f(x) \underset{x \to x_{0}}{\longrightarrow} 1 \wedge g(x) \underset{x \to x_{0}}{\longrightarrow} \infty $, разглеждаме $\lim_{x \to x_{0}}f(x)^{g(x)} = \left [1^{\infty} \right ]. $
Знаем една хубава граница, която е от вида $1^{\infty}$, затова ще го добутаме до нея.
$$\lim_{n \to \infty}\left (1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$$
или всеедно
$$\lim_{t \to 0} (1+t)^{1/t}=e.$$
$$\lim_{x \to x_{0}}f(x)^{g(x)}=\lim_{x \to x_{0}}\left((1+(f(x)-1))^{g(x)}\right)^{\frac{f(x)-1}{f(x)-1}}=e^{\lim_{x \to x_{0}}g(x)(f(x)-1)}.$$
Затова, ако съществува границата $\lim_{x \to x_{0}}g(x)(f(x)-1)=\mathcal{V}$, то съществува и нашата граница $\lim_{x \to x_{0}}f(x)^{g(x)}=e^{\mathcal{V}}.$