Грсница на редица

[Гост]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{5^{n} - 3^{n}}{3^{n} + 2^{n}}[/tex]

Здравейте, може ли някой да ми обясни дали тук трябва да извадя пред скоби [tex]5^{n}[/tex] и каква е разликата ако x->[tex]\infty[/tex] или n->[tex]\infty[/tex]

[Davids]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{5^{n} - 3^{n}}{3^{n} + 2^{n}}[/tex]

Здравейте, може ли някой да ми обясни дали тук трябва да извадя пред скоби [tex]5^{n}[/tex] и каква е разликата ако x->[tex]\infty[/tex] или n->[tex]\infty[/tex]

Разликата е, че $x$ в израза въобще нямаш и става лека безсмислица По конвенция, $n$ подсказва, че говорим за индукционно множество на променливата, т.е. примерно $n\in \N$. Но в случая не си дефинирал такова нещо, така че няма значение, дали променливата ще ти е $n$ или $x$, но е добре да имаш дефинирано множество, от което изследваш границата. Но щом е редица, значи $n \in N$.
И така, относно решаването. В случая по-хитро е да изкараш $3^n$ пред скоби, защото ще ти се получи:
$\lim_{n\to \infty}\frac{(\frac{5}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n}$

при което числителят ти клони към безкрайност, а знаменателят - към 1.

Така с директен граничен преход си решаваш проблема:
$\lim_{n\to \infty}\frac{(\frac{5}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n} = \frac{\infty - 1}{1 + 0} = \infty$

[Гост]

Защото в примерите, които сме правили винаги сме изкарвали най-голямото например ако в числителя имаме 7 на степен n, а в знаменателя 3 и 5 на степен n - и там пишем 7 на n пред скоби....

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{5^{n} - 3^{n}}{3^{n} + 2^{n}}[/tex]

Здравейте, може ли някой да ми обясни дали тук трябва да извадя пред скоби [tex]5^{n}[/tex] и каква е разликата ако x->[tex]\infty[/tex] или n->[tex]\infty[/tex]

Разликата е, че $x$ в израза въобще нямаш и става лека безсмислица По конвенция, $n$ подсказва, че говорим за индукционно множество на променливата, т.е. примерно $n\in \N$. Но в случая не си дефинирал такова нещо, така че няма значение, дали променливата ще ти е $n$ или $x$, но е добре да имаш дефинирано множество, от което изследваш границата. Но щом е редица, значи $n \in N$.
И така, относно решаването. В случая по-хитро е да изкараш $3^n$ пред скоби, защото ще ти се получи:
$\lim_{n\to \infty}\frac{(\frac{5}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n}$

при което числителят ти клони към безкрайност, а знаменателят - към 1.

Така с директен граничен преход си решаваш проблема:
$\lim_{n\to \infty}\frac{(\frac{5}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n} = \frac{\infty - 1}{1 + 0} = \infty$