Граница на функция

[Гост]

Можете ли да ми помогнете с тази граница:
[tex]\lim_{x \to 1}(x-1)^{ln(x)}[/tex]

[Davids]

Можете ли да ми помогнете с тази граница:
[tex]\lim_{x \to 1}(x-1)^{ln(x)}[/tex]

Дефинираме $f(x) = (x-1)^{lnx}$, тогава

$\lim_{x\to 1}f(x) = \lim_{x\to 1}(x-1)^{lnx} = \lim_{x\to 1} e^{ln(x).ln(x-1)} = e^{\lim_{x\to 1}ln(x).ln(x-1)} = e^L$

$\Rightarrow L = \lim_{x\to 1}ln(x).ln(x-1) = \lim_{x\to 1}\frac{ln(x-1)}{\frac{1}{lnx}} = \{\frac{-\infty}{\infty}\}$

$\overset{L'Hospital}\Rightarrow L = \lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x-1}}{-\frac{1}{xln^2x}} = \lim_{x\to 1}-\frac{xln^2x}{x-1} = \{\frac{0}{0}\}$

$\overset{L'Hospital}\Rightarrow L = \lim_{x\to 1}-(ln^2x + \cancel{x}.2lnx.\cancel{\frac{1}{x}}) = \lim_{x\to 1}-lnx(lnx + 2) = -0\times 2 = 0$

$\Rightarrow\boxed{\lim_{x\to 1}f(x) = e^0 = 1}$

[peyo]

Можете ли да ми помогнете с тази граница:
[tex]\lim_{x \to 1}(x-1)^{ln(x)}[/tex]

Чудех се дали няма по-лесен начин за решаването на това?

Забелязваме, че имаме $0^0$. Но също така,че е по-скоро $0^{0-\epsilon}$. Тогава според лема, по долу, границата е 1.

Лема:

Когато $x>y$ то $\lim_{x \to 0, y \to 0}x^y = 1$

Сещам се за лесно възможно доказателството на тази лема, като изпозлваме вече решената задача $\lim_{x \to 0}x^x = 1$