Граница на функция

[Гост]

[tex]\lim_{x \to \pm\infty}\frac{2^{x}+4^{x+1}}{4^{x}+2^{x+1}}[/tex]

[Добромир Глухаров]

$\lim_{x\to+\infty}\frac{2^x+4^{x+1}}{4^x+2^{x+1}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\cancel{4^x}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x+4\right)}{\cancel{4^x}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^x.2\right)}=\frac{0+4}{1+0.2}=4$

$\lim_{x\to-\infty}\frac{2^x+4^{x+1}}{4^x+2^{x+1}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\cancel{2^x}\left(1+2^x.4\right)}{\cancel{2^x}\left(2^x+2\right)}=\frac{1+0.4}{0+2}=\frac{1}{2}$

[Гост]

Благодаря, само ако може да попитам защо при -[tex]\infty[/tex] изваждаме [tex]2^{x}[/tex] пред скоби?

$\lim_{x\to+\infty}\frac{2^x+4^{x+1}}{4^x+2^{x+1}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\cancel{4^x}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x+4\right)}{\cancel{4^x}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^x.2\right)}=\frac{0+4}{1+0.2}=4$

$\lim_{x\to-\infty}\frac{2^x+4^{x+1}}{4^x+2^{x+1}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{\cancel{2^x}\left(1+2^x.4\right)}{\cancel{2^x}\left(2^x+2\right)}=\frac{1+0.4}{0+2}=\frac{1}{2}$

[Добромир Глухаров]

Ако бяхме изнесли $4^x$, както в случая с $+\infty$, в скобите щеше да остане $\left(\frac{1}{2}\right)^x$, което при $x\to-\infty$ щеше да клони към $+\infty$ и щяхме да получим неопределеност от вида $\frac{+\infty}{+\infty}$. Затова изнасяме така, че като съкратим, оставащите експоненти да клонят към нула.