Лимес

[skadevil]

Може ли малко помощ с тази задача :
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{cos3x - cos5x}{xtg7x}[/tex]

[Davids]

На какво ниво приемаш помощ? 12-ти клас или първи курс?
Да знаем какво да ползваме.

[KOPMOPAH]

Използвай, че $$\cos \alpha-\cos \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}2 \sin \frac{\beta-\alpha}2$$ $$\lim_{x \to 0}\frac {\sin x}x=\lim_{x \to 0}\frac {\operatorname {tg} x}x=1$$
Ще се получи нещо такова:$$\lim_{x \to 0}2\frac {\sin 4x}x.\frac {\sin x}x.\frac {x}{\tg 7x}=\lim_{x \to 0}2\frac {4.\sin 4x}{4x}.\frac {\sin x}x.\frac {7x}{7.\tg 7x}=2.4.\frac 17=...$$

[Davids]

В допълнение на колегата ще предложа и алтернативен подход:
Отново използваме, че $\lim_{x\to0}\frac{tgx}{x} = 1$, но също и основната граница $\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{x^2} = \frac{1}{2}$ (ако не я познаваш, те съветвам да се запознаете - извежда се лесно и често е полезна ).

Тогава $\lim_{x\to0}\frac{cos3x-cos5x}{xtg7x} = \lim_{x\to0}\frac{cos3x-cos5x}{7x^2\frac{tg7x}{7x}} = \frac{1}{7}\lim_{x\to0}\frac{(cos3x - 1) + (1 - cos5x)}{x^2} = \frac{1}{7}\left(-9\lim_{x\to0}\frac{1-cos3x}{(3x)^2} + 25\frac{1-cos5x}{(5x)^2}\right) = \frac{25-9}{2.7} = \frac{8}{7}$

[skadevil]

Благодаря много!

[Гост]

Аз пък те съветвам когато имаш [tex]\lim_{x \to n} \frac{f(x)}{g(x)}[/tex] да използваш Лопитал

[Гост]

Аз пък те съветвам за тази задача да не следваш горния съвет, а да послушаш KOPMOPAH и Davids.

[Гост]

Ха Ха Ха

Много хубави съвети.Хайде съветника да докаже границите [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}=1 ; \lim_{x \to 0} \frac{tg x}{x}=1[/tex] , които КОРМОРАН използва.

[KOPMOPAH]

Ха Ха Ха

Много хубави съвети.Хайде съветника да докаже границите [tex]\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x}=1 ; \lim_{x \to 0} \frac{tg x}{x}=1[/tex] , които КОРМОРАН използва.

Предложих моя вариант на решението, защото предполагам, че тези граници се изучават в средния курс и не се очаква да бъдат доказвани всеки път, когато се използват, най-малкото поради факта, че огромна част от задачите за граници се свеждат именно до тях. Без ни най-малко да подценявам правилото на Лопитал си мисля, че ако някой го използва, то също няма да го извежда.
В конкретната задача ми се струва, че диференцирането на знаменателя крие рискове при намирането на производна от произведение на функции.