задача с граници

[Гост]

Намерете границата : [tex]\lim_{x \to а}(\frac{tg x}{tg a})^{cotg(x-a)}[/tex] , [tex]a\ne \frac{k\pi}{2}[/tex] , [tex]k\epsilon Z[/tex]

[Davids]

Хубава граница, приятна.
Ползваме основната "хитрина" да представим $\frac{\tg x}{\tg a} = e^{\ln\left(\frac{\tg x}{\tg a}\right)}$ и тогава границата ни придобива вида:
$\lim_{x\to a}e^{\ln\left(\frac{\tg x}{\tg a}\right)\cdot\cotg(x-a)} = e^{\lim_{x\to a}\ln\left(\frac{\tg x}{\tg a}\right)\cdot\cotg(x-a)} = e^L$

Където $L := \lim_{x\to a}\ln\left(\frac{\tg x}{\tg a}\right)\cdot\cotg(x-a) = \lim_{x\to a}\frac{\ln(\tg x) - \ln(\tg a)}{\tg(x-a)} = \lim_{x\to a}\frac{\ln(\tg x) - \ln(\tg a)}{\frac{\tg x - \tg a}{1 + \tg x\tg a}} = \left(\lim_{x\to a}\frac{\ln(\tg x) - \ln(\tg a)}{\tg x - \tg a}\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}(1 + \tg x\tg a)\right)$

Тук идва готиното на задачата, че всъщност можем директно да забележим, че границата в левия множител, която получихме, е по дефиниция точно диференчното частно за $\ln$, т.е. по дефиниция тя е равна на $\ln'(\tg a)= \frac{1}{\tg a}$.

В същото време границата в десния множител си е директно изчислима константа, именно $1 + \tg^2a$, което пък хитро ще се сетим, че е равно на $\frac{1}{\cos^2a}$

Така получаваме $L = \frac{1}{\tg a\cos^2a} = \frac{1}{\sin a\cos a} = \frac{2}{\sin2a}$

И окончателно отговорът ни е $\lim_{x\to a}\left(\frac{\tg x}{\tg a}\right)^{\cotg(x-a)} = e^{\frac{2}{\sin2a}}$, с което сме много доволни