Задачка

[Добромир Глухаров]

Да се намери границата $\lim_{x\to0}\frac{120sinx+20x^3-x^5-120x}{x^7}=?$

[Nathi123]

A=[tex]\lim_{x \to 0} \frac{120sinx+20 x^{3}- x^{5} -120x}{ x^{7} }= \lim_{x \to 0} \frac{120cosx+60 x^{2} -5 x^{4}-120 }{7 x^{6} } \Rightarrow[/tex]
[tex]A=\lim_{x \to 0} \frac{-120sinx+120x-20 x^{3} }{42 x^{5} }= \lim_{x \to 0} \frac{-120cosx+120-60 x^{2} }{210 x^{4} }= \lim_{x \to 0} \frac{120sinx-120x}{210.4. x^{3} } \Leftrightarrow[/tex]
[tex]A=\lim_{x \to 0} \frac{120cosx-120}{12.210 x^{2} } = \lim_{x \to 0} \frac{-120sinx}{2.12.210x} =- \frac{120}{2.12.210}=- \frac{5}{210} =- \frac{1}{42}[/tex].
Няколко пъти прилагам правилото на Лопитал.

[Davids]

Да се намери границата $\lim_{x\to0}\frac{120sinx+20x^3-x^5-120x}{x^7}=?$

Задачата ми се струва като пример по учебник за приложение на ред на Маклорън, в случая за $\sin x$. Че даже и толкова хубаво ще си легнат коефициентите
При $x\to 0$ имаме $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + O(x^9)$

$\Rightarrow 120\sin x = 120x - 20x^3 + x^5 - \frac{1}{42}x^7 + O(x^9)$

$\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{120sinx+20x^3-x^5-120x}{x^7} = \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{42}x^7 + O(x^9)}{x^7} = -\frac{1}{42}$