Относно дефиницията на Коши...

[amorfatimf]

Здравейте, имам задача с която се опитвам да разбера дали разбирам дефиницията на Коши за граница на функция. Трябва да докажа, че съществува [tex]\lim_{x \to 3}x^2[/tex]=9, използвайки именно [tex]\epsilon[/tex]-[tex]\delta[/tex] дефиницията. Не знам правя ли го правилно, затова оставям записките си тук и се надявам на обратна връзка и корекция, благодаря!
Доказателство: |[tex]x^{2}[/tex] - 9| < [tex]\epsilon[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] -[tex]\epsilon[/tex] < [tex]x^{2}[/tex] - 9 < [tex]\epsilon[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] 9 - [tex]\epsilon[/tex] < [tex]x^{2}[/tex] < [tex]\epsilon[/tex] + 9 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{ 9 - \epsilon }[/tex] < x < [tex]\sqrt{ \epsilon + 9 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\sqrt{ 9 - \epsilon }[/tex] - 3 < x - 3 < [tex]\sqrt{ \epsilon + 9 }[/tex] - 3
[tex]\Rightarrow[/tex] d = min { [tex]\sqrt{ 9 - \epsilon }[/tex] - 3, [tex]\sqrt{ \epsilon + 9 }[/tex] - 3 }.
П.С. Не съм посещавал лекции, не съм взимал частни уроци и този материал за мен е чужд, всичко е на база знания от интернет - ако ме насочите с какво да разширя знания и да разбирам по-обективно материала от анализа, като цяло, също ще съм благодарен!

[Davids]

Неформално, дефиницията на Коши ти казва, че колкото и близко да искаш да приближиш стойността на функцията до дадената граница, винаги можеш да приближиш аргумента на "подходящо" разстояние от стойността, към която клони, така че исканото приближение на функционалната стойност да е вярно.
Написаното от теб е почти вярно, само че се чупи по средата.

Изводите са ти верни до $9 - \varepsilon < x^2 < \varepsilon + 9$, но оттам нататък разцепването на случаи става по-сложно и изводите общо взето не са плодотворни (заради оставащата долна граница).

Но идейно си на прав път. Обаче в тези задачи най-често не е най-изгодно да се търсят "точните" отговори за $\delta$, като е достатъчно просто да докажеш, че съществува някаква валидна оценка, която да доказва твърдението. Та се стремим да си намерим удобна такава. Нека разсъдим:
Нека $\varepsilon > 0$ е исканото произволно разстояние от границата, т.е. искаме да намерим такова $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$, че $0 < |x-3| < \delta \Longrightarrow 0 < |f(x)-9| < \varepsilon$.
Правилно си се усетил, че искаме да го караме "отдясно наляво", т.е. от исканото за $\varepsilon$ да си изкараме $\delta$. Тук обаче просто би било по-лесно да направим следното, преформулирайки исканото:
$|f(x) - 9| = |x^2 - 9| = |x-3||x+3| < \varepsilon$

Сега се възползваме от факта, че имаме $|x-3| < \delta$ и за улеснение, ще мажорираме $\delta$ с 1, т.е. $\delta \le 1$. Целта на това мажориране е да можем да направим извод за $|x+3|$, а именно: ако $\delta \le 1$, то $|x-3| < \delta \le 1 \Rightarrow 2 < x < 4$ и значи $5 < x + 3 < 7 \Rightarrow |x + 3| < 7$ е изводът, който ни интересува.

Това вече ни дава суперсилата да заключим, че $|x - 3||x + 3| < \delta \cdot 7$, а пък искаме същевременно да е и $< \varepsilon$, е значи $7\delta = \varepsilon \Rightarrow \delta = \frac{\varepsilon}{7}$ в този случай. Но да не забравяме, че си въведохме и изкуствено ограничение за улеснение на "скучните" случаи за по-големи от 1 делта, та така получаваме окончателен отговор: $\boxed{\delta = \min\{1, \frac{\varepsilon}{7}\}}$