Смесена граница

[ivopenev]

Здравейте, някой може ли да предложи решение? Първият ми проблем е какво да правя умножението на двете граници, очевидно не е вариант първата да е нула. Също така не знам какво да правя тези косинуси. Ще се радвам, ако дадете идеи или решения! Благодаря!

[vezni]

Условието всъщност е $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^5}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\ldots\cos n^2x}{x^2}\right) $$
тоест няма умножение на граници, а пресмятане на "вътрешна" граница и после на "външна". Иначе вариантите за решения са най-различни в зависимост от
това с какви знания разполагаш и какво ти е позволено да ползваш (предполагам, че задачата е от домашна работа ). Докъде си стигнал с материала?

[ivopenev]

Условието всъщност е $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^5}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\ldots\cos n^2x}{x^2}\right) $$
тоест няма умножение на граници, а пресмятане на "вътрешна" граница и после на "външна". Иначе вариантите за решения са най-различни в зависимост от
това с какви знания разполагаш и какво ти е позволено да ползваш (предполагам, че задачата е от домашна работа ). Докъде си стигнал с материала?

Добре, сега това прави много повече логика!
Сетих се за формулата cosx + cos2x + ... + conx, която може да се изведе с комплексни числа, и я изведох, но в случая не виждам как би ми помогнала.
Би ли ми дал някаква идея за произведението на косинусите?
Благодаря

[vezni]

Тръгни от $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos ax}{x^2}=\frac{a^2}{2}$ за произволно $a\in\mathbb{R}$.
Представи числителя по този начин: $$1-\cos x\cos 2^2x\cos 3^2x\ldots\cos n^2x=(1-\cos x) + \cos x(1-\cos 2^2x)+\cos x\cos 2^2x(1-\cos 3^2x)+\ldots+\cos x\cos 2^2x\ldots\cos (n-1)^2x(1-\cos n^2x) $$
и като използваш първата граница се получава
$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x\cos 2^2x\cos 3^2x\ldots\cos n^2x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}+\lim_{x\to 0}\frac{\cos x(1-\cos 2^2x)}{x^2}+\lim_{x\to 0}\frac{\cos x\cos 2^2x(1-\cos 3^2x)}{x^2}+\dots+
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x\cos 2^2x\ldots\cos (n-1)^2x(1-\cos n^2x)}{x^2}$$ $$=\frac{1^4}{2}+\frac{2^4}{2}+\frac{3^4}{2}+\dots+\frac{n^4}{2} $$
Сега трябва да сметнеш
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1^4+2^4+3^4+\dots+n^4}{n^5}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{1^4+2^4+3^4+\dots+n^4}{n^5} $$

[ivopenev]

Супер си! Много благодаря! И супер умен ход! <3

[pal702004]

и все пак задачата трябва да се довърши.