Задача от граници

[Гост]

Може ли малко помощ, че забих на тази задача
[tex]\lim_{x \to 0}( \frac{1-cosx}{ x^{2 } } )[/tex]

[Гост]

Опа, няма значение, сетих се , но сега зациклих на това [tex]\lim_{x \to \frac{ \pi }{3} } \frac{sin( \frac{1}{2} ( \frac{ \pi }{3}-x ))}{sin( \pi -3x)}[/tex]

[Гост]

pak po sushtiya nachin

[Гост]

Мерси много, май го получих (1/6)

[S.B.]

Може ли малко помощ, че забих на тази задача
[tex]\lim_{x \to 0}( \frac{1-cosx}{ x^{2 } } )[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0}( \frac{1 -\cos x}{ x^{2 } } ) = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2 } \frac{x}{2} }{ x^{2 } } = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{2\ sin^{2 } \frac{x}{2} }{4} }{ \frac{ x^{2 } }{4} } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2} }) ^{2 } = \frac{1}{2}. 1 = \frac{1}{2}[/tex]

[Гост]

Да, и аз я реших като теб S.B, но все пак благодаря много за отговора Поне вече съм сигурен, че ми е вярно решението!

[Davids]

[tex]\lim_{x \to 0}( \frac{1 -\cos x}{ x^{2 } } ) = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^{2 } \frac{x}{2} }{ x^{2 } } = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{2\ sin^{2 } \frac{x}{2} }{4} }{ \frac{ x^{2 } }{4} } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} ( \frac{\sin \frac{x}{2} }{ \frac{x}{2} }) ^{2 } = \frac{1}{2}. 1 = \frac{1}{2}[/tex]

Да се включа и аз с едно алтернативно доказателство на тази хубава основна граница!
$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)}{x^2}\cdot\frac{1+\cos x}{1 + \cos x} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\cos x}\right)\left(\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2}\right) = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos^2x}{x^2} = \frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2x}{x^2} = \frac{1}{2}\cdot1 = \frac{1}{2}$