Смесена граница

[ivopenev]

Здравейте! Дадена е граница с различни компоненти, която не знам как да захвана. Опитах с Лопитал, но става много тромаво и си мисля, че може да има и по-елегантен начин. Ако някой даде насоки и предложения, ще бъда много благодарен!

[Гост]

довърши си Лопитала

[pipi langstrump]

Най-лесно е да развиеш членовете в ред. Ползвай таблица.

[ivopenev]

Имаш предвид да използвам серията на Тейлър или Маклорен ли?

[pipi langstrump]

Да.
На Маклорен.

[vezni]

С редове на Маклорен става най-бързо. Другите подходи вероятно водят до много повече сметки.
Трябват ти членовете до трета степен. Получава се
$\cos x+\left(\cos x\right)^{x^2}-\sqrt{4-2x^2}=o(x^3)\quad(x\to 0) $
$\ln(2x^2-2x+1)+\tg 2x=4x^3+o(x^3)\quad(x\to 0) $
$\frac{\cos x+\left(\cos x\right)^{x^2}-\sqrt{4-2x^2}}{\ln(2x^2-2x+1)+\tg 2x}=\frac{o(x^3)}{4x^3+o(x^3)}=\frac{o(1)}{4+o(1)}\to 0\quad(x\to 0) $
Границата е $0$.
Относно тангенса:
$\tg t=t+\frac{t^3}{3}+o(t^3)\quad(t\to 0)$