Задача с основна граница

[Yanik]

Здравейте ако някой може да ми помогне да реша тази задача ще съм много благодарен.

[Davids]

Нека $a_n := \left(\frac{n^2 +5n + 6}{n^2-n-2}\right)^{2n} = \left(1 + \frac{6n + 8}{n^2-n-2}\right)^{2n}$

Нека дефинираме помощната редица: $b_n = \frac{n^2-n-2}{6n+8}$ и знаем, че $b_n \longrightarrow +\infty$.

Тогава $a_n = \left(1 + \frac{1}{b_n}\right)^{2n} = \left[\left(1 + \frac{1}{b_n}\right)^{b_n}\right]^\frac{2n}{b_n}$

Имаме основната граница $\lim_{b_n\to \infty}\left(1 + \frac{1}{b_n}\right)^{b_n} = e$

А отделно съществува и границата:
$\frac{2n}{b_n} = \frac{12n^2 + 16n}{n^2-n-2} \longrightarrow 12$

Значи окончателно $a_n \longrightarrow e^{12}$

[Yanik]

Много ви благодаря!