Задача с пресмятане на граница

[Yanik]

Здравейте ако можете да ми покажете решението на тази задача ще съм благодарен.

[Davids]

Нека търсената граница е $L:=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$
Тогава:

$\ln L = \ln\left[\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}\right] = \lim_{x\to 0}\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-\cos x}} = \lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(1 + \overbrace{\frac{\sin x}{x} - 1}^{\rightarrow 0}\right)}{1 - \cos x}$

Ползваме основната граница $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1$, или казано иначе: $\ln(1+x) \sim x$.
Аналогично имаме основната граница $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$, т.е. $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$

И така:
$\ln L = 2\lim_{x\to 0}\frac{\frac{\sin x}{x} - 1}{x^2} = 2\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$

И тук вече варианти много. Най-генерално и директно е с развитие в ред на Маклорън, но не знам дали те устройва. Затова може да го караме на по-примитивната му версия: правилото на Лопитал (имаме неопределеност от вида $\left[\frac{0}{0}\right]$):

$\ln L = 2\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{3x^2} = -\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = -\frac{1}{3}$

На последния преход отново ползвахме основната граница от по-горе. И така получихме:

$\boxed{L = e^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{e}}}$

[Yanik]

Много ви благодаря, стахотно обяснение!