Затруднения с няколко лимеса

[qwerty0]

Здравейте искам да помоля за помощ относно решенията на следните задачи!

lim [tex]\left(\frac{\pi }{2}-x\right)tgx[/tex] при х->[tex]\frac{\pi }{2 }[/tex];
lim [tex]\frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{ \sqrt[2]{2+x}+x}[/tex] при x->-1;

Благодаря предварително за помоща!
П.П. Ще съм много благодарен и на малко обяснения.

[Mark]

[tex]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} (\frac{\pi}{2}-x).tgx[/tex][tex]=[/tex][tex]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{(\frac{\pi}{2}-x)}{cotgx}[/tex][tex]=[/tex][tex]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{-1}{\frac{-1}{sin^2x}[/tex][tex]=1[/tex]

Първата може да се реши, като се положи [tex](\frac{\pi}{2}-x)=t[/tex]Втората граница не съществува..
[tex]\lim_{x\to-1-0} \frac{\sqrt[3]{1-2x}+1}{\sqrt{2+x}+x}[/tex][tex]=[/tex][tex]\frac{\sqrt[3]{3-0}+1}{-0}[/tex][tex]=[/tex][tex]-\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to-1+0} \frac{\sqrt[3]{1-2x}+1}{\sqrt{2+x}+x}[/tex][tex]=[/tex][tex]\frac{\sqrt[3]{3+0}+1}{+0}[/tex] [tex]=[/tex][tex]+\infty[/tex]

[mkmarinov]

Да не би да е корен трети от 1+2x в числител?

[qwerty0]

Да , точно така е 1+2х ! Извинявам се за грешката(сега ще го оправя)!
Благодаря за отговора на първата задача!

[ganka simeonova]

Умножи и раздели дробта на [tex](\sqrt[3]{(1+2x)^2} -\sqrt[3]{1+2x} +1)(\sqrt{2+x} -x)[/tex]
Така ще получиш формули за съкратено умножение...

[qwerty0]

Пробвах така както предложи ,но неполучавам отговора който е даден и е [tex]\frac{4}{ 9}[/tex].
Решението трябва да е (т.е със сигорност е ) свързано с прилагането на теоремите на Лопитал ,но немога да го докарам до там....

[mkmarinov]

Можеш директно да приложиш правилото на Лопитал.

[qwerty0]

Е да ,но немога да се справя с производните ...
Ще съм благодарен някой ако може да ми обясни как точно става тоя номер когато трябва да търсим производна на нещо от сорта на[tex]( \sqrt[3]{1+2x}+1)[/tex] или tg^2 x(тангенс квадрат от х)..
П.П. Извинявам се за глупавите въпроси ,но просто там от кадето уча е обяснено твърде сложно за мен.
Ще съм признателен и някой ,ако може да предложи някакъв материал за учене с повече примерни решени задачи.
Благодаря предварително !

[Martin Nikovski]

[tex](\sqrt[3]{1+2x}+1)'= ?[/tex]
Знаем, че производната на сбор е равна на сбора от производните на отделните събираеми... Следователно:
[tex](\sqrt[3]{1+2x}+1)'=(\sqrt[3]{1+2x})'+1'[/tex]
Производната на всяка константа е [tex]0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]1'=0[/tex].
Тогава [tex](\sqrt[3]{1+2x}+1)'=(\sqrt[3]{1+2x})'+1'=(\sqrt[3]{1+2x})'+0=(\sqrt[3]{1+2x})'[/tex]
Това е производна на "сложна функция", тъй като [tex]x[/tex] първо участва в сбора [tex]1+2x[/tex], а след това този сбор е под трети корен ([tex]\sqrt[3]{1+2x}[/tex]).
Производната на такава функция е равна на произведението от производната на "вътрешната" функция (в случая [tex]1-2x[/tex]) и производната на цялата функция ([tex]\sqrt[3]{1+2x}[/tex]).
Имаме, че [tex](\sqrt[3]{1+2x}+1)'=(\sqrt[3]{1+2x})'=(1+2x)'.(\sqrt[3]{1+2x})'[/tex]
Първият множител е производна на линейна функция. [tex](ax+b)'=a[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](1+2x)'=2[/tex]
Вторият множител е производната на [tex]\sqrt[3]{1+2x}[/tex]... Записваме я във вида [tex]\left((1+2x)^{\frac{1}{3 }}\right)'[/tex].
Това е производна на функция от вида [tex]x^n[/tex]...
[tex]\left(x^n\right)'=n.x^{n-1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left((1+2x)^{\frac{1}{3 }}\right)'=\frac{1}{3 }.(1+2x)^{\frac{1}{3 }-1}=\frac{1}{3 }.(1+2x)^{-\frac{2}{3 }}=\frac{1}{3(1+2x)^{\frac{2}{3 }}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(1+2x)^2}}[/tex]
[tex](\sqrt[3]{1+2x})'=\left((1+2x)^{\frac{1}{3 }}\right)'=\frac{1}{3\sqrt[3]{(1+2x)^2}}[/tex]
Тогава за първоначалната производна получаваме:
[tex](\sqrt[3]{1+2x}+1)'=(1+2x)'.(\sqrt[3]{1+2x})'=2.\frac{1}{3\sqrt[3]{(1+2x)^2}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{(1+2x)^2}}[/tex]

[qwerty0]

Благодаря ти за прекрасното и лесно за разбиране обяснение!

[Mark]

А пък обикновено преди урок "Неопределени форми" има урок "Диференциално смятане на функция" или "Производни и диференциали".
За [tex]y=tg^2x[/tex] [tex]y'=2tgx.\frac{1}{cos^2x}[/tex] или [tex]y=u^2[/tex] [tex]u=tgx[/tex]
[tex]y'=y'_{u}.u'_{x}=2u.\frac{1}{cos^2x}=2tgx.\frac{1}{cos^2x}[/tex]

[tex]\lim_{x\to-1} \frac{\sqrt[3]{1+2x}+1}{\sqrt{2+x}+x}=[/tex][tex]\frac{\frac{2}{3\sqrt[3]{(1+2x)^2}}}{{\frac{1+2\sqrt{2+x}}{2\sqrt{2+x}}}[/tex][tex]=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{2}}[/tex][tex]=\frac{4}{9}[/tex]

[ganka simeonova]

Сори, но това е рутинна задача от 12 клас. Тогава не са и сънували Лопитал. Само едно рационализиране, две ф-ли за съкратено умножение и всичко е ОК

[Mark]

Това го казах понеже qwerty0 каза, че знае теоремата на Лопитал и се учудих, че не може да намира производни.

[mkmarinov]

Това го казах понеже qwerty0 каза, че знае теоремата на Лопитал и се учудих, че не може да намира производни.

Това е качеството на българското образование...

[qwerty0]

Това го казах понеже qwerty0 каза, че знае теоремата на Лопитал и се учудих, че не може да намира производни.

Това е качеството на българското образование...

За съжаление не всички са благословени да учат в чужбина...
И оценките не са само слаб и отличен ....
Съвсем учтиво помолих някой ако може и има желание да помогене(каквато е и целта на форума доколкото знам) не беше нучно да си чешете пръстите на клавиатурите и да ме нападате ....
Благодаря още веднъж на всички които помогнаха!

[mkmarinov]

Къде те нападам?
Единственото, което казах, е че е парадокс ученик, който е учил Лопитал, да не знае производните. Както и че може да се случи само тук.

(и не уча в чужбина)

[ganka simeonova]

Сори за спама, но Лопитал не се учи в средното училище.

[b1ck0]

Зависи от средното училище ....

[ganka simeonova]

Зависи от средното училище ....

Не ме карай да се смея за пореден път

[mkmarinov]

Сори за спама, но Лопитал не се учи в средното училище.

Студент тогава .

[b1ck0]

Зависи от средното училище ....

Не ме карай да се смея за пореден път

Е аз съм го учил в училище! Не виждам нищо смешно. Това че не влиза в държавния минимум не значи че не се учи в математическите гимназии, та дори и в някой училища, които се смятат за елитни. В интерес на истината разликата между подготовката по математика в МГ и Университет ( не математическа специалност ) е почти минимална. Единствените нови неща, които се учат в университета са аналитична геометрия, матрично смятане и интеграли.

[ganka simeonova]

Е аз съм го учил в училище! Не виждам нищо смешно. Това че не влиза в държавния минимум не значи че не се учи в математическите гимназии, та дори и в някой училища, които се смятат за елитни. В интерес на истината разликата между подготовката по математика в МГ и Университет ( не математическа специалност ) е почти минимална. Единствените нови неща, които се учат в университета са аналитична геометрия, матрично смятане и интеграли.

Като ти гледам постовете, жалко за училището, в което си учил!
Не ми обяснявай, че ако едно училище е "елитно", то ще учи Лопитал!
Това просто е порочна практика! Особено за среден курс.
А, и още нещо.. В 12 клас в ПП се учи АГ

[b1ck0]

Като ти гледам постовете, жалко за училището, в което си учил!

По изказа ви личи че умеете да се разбирате с хортата.