Границата на функцията

[qwerty0]

Здравейте ,отново ми трябва помощ с решението на следната задачка
[tex]\lim_{x\to\0} (sinx)^ {\frac{arctg^2 x}{ln(1-x) }}[/tex]

Трябвами цялото решение и малко обяснения ...
Благодаря предварително!

[ganka simeonova]

Ще логаритмуваме двете страни. Нека ф-та означим с у. Тогава
[tex]lim(lny)=limsinx\frac{arctg^2x}{ ln(1-x)}[/tex]
Сега ще умножим и разделим на [tex]x^3[/tex]
Toгава ще получим:
[tex]lim(lny)=lim\frac{arctg^2x}{x^2 } .lim\frac{sinx}{x } .lim\frac{x^3}{ln(1-x) }[/tex]
Първите две граници при х->0, са равни на 1. ПОследната граница ще я сметнем по Лопитал, за да не се сърди b1cko
[tex]lim\frac{x^3}{ln(1-x) } =lim\frac{(x^3)'}{(ln(1-x))' } =lim3x^2(x-1)=0[/tex]
Tогава [tex]lim(lny)=0=>ln(limy)=0=>limy=e^0=>limy=1[/tex]
Предполагам, че е така:)

[qwerty0]

А можели да предложите цялостно решение чрез използването на теоремите на Лопитал!

[ganka simeonova]

Миаля, че съм го приложила. По Лопитал се прави само последната от трите граници.
И съм го написала.

[qwerty0]

А дали неможе да се реши по следния начин...
[tex]\lim_{x\to\0} (sinx)^ {\frac{arctg^2 x}{ln(1-x) }} = [0^0] = e\lim_{x\to\0} \frac{arctg^2 x}{ln(1-x) } ln(sinx)= e^[0\infty ][/tex]
[tex]\lim_{x\to\0} \frac{\frac{arctg^2 x}{ln(1-x) }}{ \frac{1}{ln(sin x) } }=[\frac{0}{ 0} ][/tex]
Имали нещо вярно

[seppen]

Същото е. Тя е забравила ln просто, при sin.

Ако приложиш направо Лопитал ще стане гадно, затова трябва да се преобразува.
Основата на това е e.
[tex]\lim \frac{{(arctg x)} ^2}{x^2}*\frac{x}{\ln (1-x)} * x \ln (\sin x)=-1\lim_{x \to 0} x \ln (\sin x) = -1 \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\sin x)}{\frac{1}{x}}=[\infty/\infty][/tex]

[ganka simeonova]

, благодаря ти за поправката seppen