Интересна граница със различни корени( 3-ти и квадратен)

[BTK Strangler]

lim([tex]\sqrt[3]{x^3+3x^2} - \sqrt{x^2-2x}[/tex])
x->bezkr.
Опитах минаване към корен 6ти, вдигане на 3-та и след това на 2ра степен и нищо не излиза

[mkmarinov]

Рационализирай първо вторият корен, след това третият.

[ptj]

Границата е +безкрайност.
Вижда се директо като сравнят степените.
Друг начин е като изкараш [tex]\sqrt{ \mid x \mid}[/tex] пред скоби.


П.П. В условието безкрайността трябва да е със знак минус за да е дефиниран корена.

[mkmarinov]

По-грешен пост от тоя на ptj отдавна не бях чел .

[Martin Nikovski]

Аз получавам границата като [tex]+\infty-\left(+\infty\right)[/tex] (разлика от безкрайности), чиято стойност не знам как да определя. Странното е, че според Интернет отговорът е [tex]2[/tex], въпреки че границите на умаляемото и умалителя поотделно са [tex]+\infty[/tex]...

[ganka simeonova]

Аз получавам границата като [tex]+\infty-\infty[/tex] (разлика от безкрайности), чиято стойност не знам как да определя. Странното е, че според Интернет отговорът е [tex]2[/tex], въпреки че границите на умаляемото и умалителя поотделно са [tex]+\infty[/tex]...

Оппа, оппа.
Зависи каква е безкрайността- дали + безкр или - безкр.

[Martin Nikovski]

Говорим за [tex]x\to+\infty[/tex]...

[ganka simeonova]

Ако запишем разликата на корените чрез корен шести, ще имаме
[tex]\sqrt[6]{x^6+6x^5+9x^4} -\sqrt[6]{x^6-6x^5+12x^4-8x^3}[/tex].
Да положим корените с а и b и да рационализираме, като умножим с
[tex]a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+a^5[/tex]
Tака в числител ще получим [tex]a^6-b^6=12x^5-3x^4+8x^3[/tex]

Тогава, като изнесем в числител [tex]x^5[/tex] и в знаменател пред корените [tex]x^5[/tex], ще получим при граничен преход 12/6=2.

[allier]

Другото нещо, което може да се направи, е да се забележи, че единият корен е от формула за съкратено умножение [tex](x+1)^3[/tex], а другият от [tex](x-1)^2[/tex]. Тогава изразът се записва така:

[tex]\sqrt[3]{x^3+3x^2} - (x+1) - (\sqrt{x^2-2x} - (x-1)) + 2[/tex] и вече отделните две разлики да се рационализират до изрази с граница 0.

Например, [tex]\sqrt{x^2-2x} - (x-1) = \frac{-1}{\sqrt{x^2-2x}+x-1 }[/tex], което клони към 0.