Граница на редица

[Гост]

[tex]\lim_{x \to \infty}\frac{(n+1)^6} {(n+1)^7-n^7}[/tex]

[ammornil]

[tex]\lim_{x \to \infty}\frac{(n+1)^6} {(n+1)^7-n^7}[/tex]

$\\[12pt]$ Аргументът на посочената граница не зависи от $x$, допускам че имате предвид $n\to{\infty}$.$\\[6pt]$Може би има и по-елегантно решение, но аз като уважаващ себе си възпитаник на сърпа и чука, се сещам за бакалския метод. Биномно развитие, редуциране в знаменателя, изнасяне на най-висока степен в числител и знаменател, съкращаване на изнесените множители, и пресмятане на границата.$\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr}&&&&&1&&2&&1 \\&&&&1&&3&&3&&1 \\ &&&1&&4&&6&&4&&1 \\ &&1&&5&&10&&10&&5&&1 \\ &1&&\boxed{6}&&15&&20&&15&&6&&1 \\ 1&&\boxed{7}&&21&&35&&35&&21&&7&&1 \end{array} \\[12pt](n+1)^{6}= n^{6} +6n^{5} +15n^{4} +20n^{3} +15n^{2} +6n +1 \\[6pt] (n+1)^{7}= n^{7} +7n^{6} +21n^{5} +35n^{4} +35n^{3} +21n^{2} +7n +1 \\[12pt] \lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^{6} +6n^{5} +15n^{4} +20n^{3} +15n^{2} +6n +1} {n^{7} +7n^{6} +21n^{5} +35n^{4} +35n^{3} +21n^{2} +7n +1 -n^7}}= \lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^{6}\left(1 +\dfrac{6}{n} +\dfrac{15}{n^{2}} +\dfrac{20}{n^{3}} +\dfrac{15}{n^{4}} +\dfrac{6}{n^{5}} +\dfrac{1}{n^{6}}\right)}{n^{6}\left(7 +\dfrac{21}{n} +\dfrac{35}{n^{2}} +\dfrac{35}{n^{3}} +\dfrac{21}{n^{4}} +\dfrac{7}{n^{5}} +\dfrac{1}{n^{6}}\right)}}= \\[6pt] \quad =\cdots{} =\dfrac{1+0+0+0+0+0+0}{7+0+0+0+0+0+0}= \dfrac{1}{7}$

[Гост]

$a^7-b^7=(a-b)(a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6)$

$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^6}{(n+1)^7-n^7}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^6}{(n+1-n)((n+1)^6+(n+1)^5.n+(n+1)^4.n^2+(n+1)^3.n^3+(n+1)^2.n^4+(n+1).n^5+n^6)}=\\=\lim_{n\to\infty}\frac{n^6\left(1+\frac{1}{n}\right)^6}{n^6\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^6+\left(1+\frac{1}{n}\right)^5+\left(1+\frac{1}{n}\right)^4+\left(1+\frac{1}{n}\right)^3+\left(1+\frac{1}{n}\right)^2+\left(1+\frac{1}{n}\right)+1\right)}=\\=\frac{(1+0)^6}{(1+0)^6+(1+0)^5+(1+0)^4+(1+0)^3+(1+0)^2+(1+0)+1}=\frac{1}{7}$