числова редица

[Гост]

[tex]\lim_{n \to \infty } (\frac{n^2 + 2n + 3}{2n^2 - n + 5})^n[/tex]

[Гост]

Прилича на 0.

[pal702004]

$\left (\dfrac 1 2 \right)^n$ силно прилича, да.

[Гост]

Може ли малко насоки относно решението на тази задача?

[ammornil]

В задачи от този тип, изнасяме най-високата степен на неизвестното в числител и в знаменател.$\\[12pt] \lim_{n\to{+\infty}}{\left(\dfrac{n^2 + 2n + 3}{2n^2 - n + 5}\right)^n}= \lim_{n\to{+\infty}}{\left(\dfrac{n^2\begin{pmatrix}1 + \dfrac{2}{n} +\dfrac{3}{n^{2}}\end{pmatrix}}{n^2\begin{pmatrix}2 -\dfrac{1}{n} +\dfrac{5}{n^{2}}\end{pmatrix}}\right)^n} =\\[6pt] =\lim_{n\to{+\infty}}{\left(\dfrac{1 + \dfrac{2}{n} +\dfrac{3}{n^{2}}}{2 -\dfrac{1}{n} +\dfrac{5}{n^{2}}}\right)^n}\\[12pt] $Дроби с числител константа и знаменател степен на неизвестното клонят към $0$, когато неизвестното клони към $+\infty$. Тогава замествайки в горното получаваме $\\[12pt] = \cdots =\left(\dfrac{1 + 0 +0}{2 -0 +0}\right)^{+\infty}= \dfrac{1^{+\infty}}{2^{+\infty}}= \dfrac{1}{+\infty}= 0\\[12pt]$Използвахме, че$ \hspace{0.5em} \forall{c}=const \rightarrow \lim_{x\to{+\infty}}{\dfrac{c}{x^{k}}}=0, \hspace{0.5em} c\in\mathbb{R}, k\in\mathbb{N},\quad$ и че $\quad 1^{k}=1, \hspace{0.5em} \forall{k}\in\mathbb{N}\\[12pt] $

Скрит текст: покажи

Ето възможните подслучаи на този тип задачи за израза в скобите, когато неизвестното клони към $+\infty$:$\\[12pt]\quad$Когато числителят и знаменателят имат еднаква най-висока степен на неизвестното, частното се свежда до дроб от коефициентите пред най-високите степени в числител и знаменател. Това е случаят даден по-горе: и числителят, и знаменателят са многочлени от втора степен, затова границата на израза в скобите e $\dfrac{1}{2}. \\[12pt]\quad$Когато изразът в числител е от по-висока степен от този в знаменателя, дробта клони към $+\infty.\\[12pt]\quad$Когато изразът в числител е от по-ниска степен от този в знаменателя, дробта клони към $0$.

[Гост]

Теорема за полицаите-page-001.jpg (88.38 KiB) Прегледано 129 пъти