Граници на числови редици

[Гост]

Моля за помощ със следните граници:
[tex]\lim_{n \to \infty } (\frac{1}{2^n} + \frac{3}{2^n} +... +\frac{2n-1}{2^n});[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty } (\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3}... +\frac{2n-1}{2^n}).[/tex]

[Гост]

Първата граница се намира сравнително лесно:

$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{3}{2^n}+\frac{5}{2^n}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n(2k-1)}{2^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2^n}=0$

За втората ще си послужим с елементи от теорията на редовете:

$L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k-1}{2^k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{k-1}}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=S-1$

$S=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{2^{k-1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k-1+1}{2^{k-1}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{2^k}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{S}{2}+2\Rightarrow S=4$

$\Rightarrow L=4-1=3$