Граница

[Гост]

[tex]\lim_{n \to \infty}(\frac{2n^2 + 2}{2n^2 + 1})^{n^2}[/tex]

[ammornil]

[tex]\lim_{n \to \infty}(\frac{2n^2 + 2}{2n^2 + 1})^{n^2}[/tex]

$\\[12pt]\dfrac{2n^2 + 2}{2n^2 + 1}= \dfrac{2 +\dfrac{2}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} = 1+ \dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} \\[12pt] \lim_{n\to{\infty}}{\dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}}= \lim_{n\to{\infty}}{\dfrac{1}{2n^{2}+1}}= \cdots =0 \\[12pt] \quad \because{} \begin{cases} n\to{\infty} \\ \dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} \to{0} \end{cases} \Rightarrow \quad \ln{\begin{pmatrix} 1+ \dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}\end{pmatrix}} \to{ \dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}} } \\[12pt] \mathcal{L} =\lim_{n\to{\infty}}{\begin{pmatrix} \dfrac{2n^2 + 2}{2n^2 + 1} \end{pmatrix} ^{n^{2}} } \quad \Leftrightarrow \quad \ln{\mathcal{L}} = \lim_{n\to{\infty}}{ \begin{bmatrix} n^{2}\ln{\begin{pmatrix} \dfrac{2n^2 + 2}{2n^2 + 1} \end{pmatrix}} \end{bmatrix} }= \lim_{n\to{\infty}}{ \begin{pmatrix} n^{2} \dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}\end{pmatrix} } \\[6pt] \ln{\mathcal{L}} = \lim_{n\to{\infty}}{ \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}\end{pmatrix} } = \cdots = \dfrac{1}{2} \\[6pt] \mathcal{L} = e^{\frac{1}{2}} \Rightarrow $ $$ \lim_{n\to{\infty}}{\begin{pmatrix} \dfrac{2n^2 + 2}{2n^2 + 1} \end{pmatrix} ^{n^{2}} } = \sqrt{e} $$

[ammornil]

Може да има и други начини за решаване. Мен са ме учили, че когато има израз на променливата повдигнат на степен съдържащ променливата, тогава прибягваме до логаритми. Друг подход може да бъде с подходящо избрана субституция.

Има и решение с основата на естествения логаритъм. Това, обаче, ми дойде като идея след като видях отговора и не мисля, че бих се сетил на изпит или друг работен формат, когато има ограничение в дадено време. $\\[12pt]\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x}=e, \quad a\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}, \quad a=const., \quad x\to{\infty} \\[12pt] \dfrac{2n^{2}+2}{2n^{2}+1}= \dfrac{2n^{2}+1+1}{2n^{2}+1}= 1 +\dfrac{1}{2n^{2}+1} \\[12pt] \because{n\to{\infty}} \Rightarrow \left(\dfrac{2n^{2}+2}{2n^{2}+1}\right)^{n^{2}}= \left[\left(1 +\dfrac{1}{2n^{2}+1} \right)^{2n^{2}+1}\right]^{\dfrac{n^{2}}{2n^{2}+1}}= \Large{e}\normalsize{^{^{\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}}}} \\[12pt] \lim_{n\to{\infty}}{\left(\dfrac{2n^{2}+2}{2n^{2}+1}\right)^{n^{2}}}= \lim_{n\to{\infty}}{\Large{e}\normalsize{^{^{\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}}}}} \\[12pt] \lim_{n\to{\infty}}{\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}}= \cdots =\dfrac{1}{2} \Rightarrow \lim_{n\to{\infty}}{\Large{e}\normalsize{^{^{\frac{n^{2}}{2n^{2}+1}}}}}= \cdots = e^{\frac{1}{2}}$