Няколко задачки с лимеси

[desi-desi]

малко помощ с няколко задачки с лимеси

[prodanov]

[tex]\lim_{n\to\infty} \{\frac{3n^2 + 4n + 3}{3n^2 + n + 2}\}^{n+2} = \lim_{n\to\infty} f(x)^{g(x)}[/tex]

[tex]let\hspace{10 mm} f(x)= \frac{3n^2 + 4n + 3}{3n^2 + n + 2}[/tex]
[tex]g(x)= n+2[/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty} f(x) = 1[/tex]
[tex]\lim_{n\to\infty} g(x) = \infty[/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{n\to\infty} g(x)(f(x)-1)} = e^0 = 1[/tex]


Надявам се не съм сгрешил. Тази формула не се преподава и я няма в учебника, а трябваше да я търся из лекциите на фми. 4 не е ли същата със същия отговор?

[allier]

Как по-точно получи, че g(f-1) -> 0 ?

[prodanov]

От формулата ей тук. [tex]g(x)(f(x)-1) = \infty.0 = 0[/tex]

[Mark]

[tex]\lim_{n\to\infty}g(n)(f(n)-1)=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+7n+2}{3n^2+n+2}=1[/tex]

[ptj]

От формулата ей тук. [tex]g(x)(f(x)-1) = \infty.0 = 0[/tex]

Безкрайност умножена по 0 е неопределеност!

[desi-desi]

един приятел ми помогна със задачите , но все пак ви благодаря относно отговора на 1) е

[prodanov]

В крайна сметка някой ще удари ли едно рамо на тая лема, щото не я разбирам.

[tex]\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a} e^{g(x)(f(x)-1)} = e^{\lim_{x\to a} g(x)(f(x)-1)}[/tex]

Винаги [tex]x \to a[/tex] и няма значение дали [tex]\lim_{x\to a} f(x) = 1?[/tex]

[ptj]

В крайна сметка някой ще удари ли едно рамо на тая лема, щото не я разбирам.

[tex]\lim_{x\to a} f(x)^{g(x)} = \lim_{x\to a} e^{g(x)(f(x)-1)} = e^{\lim_{x\to a} g(x)(f(x)-1)}[/tex]

Винаги [tex]x \to a[/tex] и няма значение дали [tex]\lim_{x\to a} f(x) = 1?[/tex]

Какво да и разбираш? Написано е, че едната граница може да се замени с другата, когато [tex]f(x) -> 1[/tex]. Няма никакво значение дали това е изпълнено при [tex]x[/tex] клонящо към определено число или към безкрайност. Виж си по-добре примерите : използва се, когато имаш неопределеност от вида "1 на степен безкрайност".

П.П. В твоя пример просто трябваше да продължиш решението...

[Flame]

[tex]\lim_{n\to\infty} \{\frac{3n^2 + 4n + 3}{3n^2 + n + 2}\}^{n+2}=?[/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty} \{\frac{3n^2 + 4n + 3}{3n^2 + n + 2}\}^{n+2}=\lim_{n\to\infty} \{1+\frac{1+3n}{3n^2 + n + 2}\}^{n+2}[/tex]

Знаем, че [tex]\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^{x}=e[/tex] респективно [tex]\lim_{f(x)\to\infty} (1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)}=e[/tex] или

[tex]\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{\frac{3n^2 + n + 2}{1+3n}})^{\frac{3n^2 + n + 2}{1+3n}.\frac{1+3n}{3n^2 + n + 2}.(n+2)}[/tex][tex]=\lim_{n\to\infty} e^{\frac{(1+3n)(n+2)}{3n^2 + n + 2}}=e^1=e[/tex]

[ptj]

[tex]\lim_{n\to\infty} \{\frac{3n^2 + 4n + 3}{3n^2 + n + 2}\}^{n+2}=?[/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty} \{\frac{3n^2 + 4n + 3}{3n^2 + n + 2}\}^{n+2}=\lim_{n\to\infty} \{1+\frac{1+3n}{3n^2 + n + 2}\}^{n+2}[/tex]

Знаем, че [tex]\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^{x}=e[/tex] респективно [tex]\lim_{f(x)\to\infty} (1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)}=e[/tex] или

[tex]\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{\frac{3n^2 + n + 2}{1+3n}})^{\frac{3n^2 + n + 2}{1+3n}.\frac{1+3n}{3n^2 + n + 2}.(n+2)}[/tex][tex]=\lim_{n\to\infty} e^{\frac{(1+3n)(n+2)}{3n^2 + n + 2}}=e^1=e[/tex]

[tex]=\lim_{n\to\infty} e^{(n+2)(\frac{3n^2 + 4n + 3}{3n^2 + n + 2}-1)}=\lim_{n\to\infty} e^{\frac{(n+2)(3n+1)}{3n^2 + n + 2}}=e^1=e[/tex]

П.П. Отиваше директно в края на решението на "Flame".