Граници и Лопитал

[red]

Здравейте и ЧНГ!
Може ли тази граница да се търси с Лопитал:
[tex]lim \frac{lnx}{x }[/tex] при x->+0

По принцип като заместя се получава неопределеност от вида [tex]\frac{-\infty }{0 }[/tex] ,обаче като се замисля и веднага става ясно, че границата е минус безкрайност.
Ако използвам Лопитал получавам [tex]lim\frac{1}{ x}[/tex] при x->+0 и границата се получава плюс безкрайност.

Нещо май не е така?

[portokal]

не знам как точно става ясно, че границата е минус безкрайност ... повярвай Лопитал си е знаел работата плюс безкрайност е

[Mark]

Всъщност е [tex]-\infty[/tex]
В случая не може директно да се приложи Лопитал.
[tex]x=e^{-t}[/tex]
[tex]\lim_{x\to+0}\frac{lnx}{x}=\lim_{t\to+\infty} -te^t=-\infty[/tex]

[portokal]

да така е
сега прегледах видовете неопределеност и не можах да открия такава каквато е посочил той и от там и грешката ...

[red]

В случая не може директно да се приложи Лопитал.

Това означава ли, че границата не може да се търси с Лопитал? И ако да, защо? Имаме неопределеност и [tex]lim\frac{f'(x)}{g'(x) }[/tex] при x->a съществува, т.е. условията за прилагане на Лопитал са налице.

[portokal]

правилото на Лопитал касае разкриване на неопределеност от вида [tex][\frac{0}{0}][/tex] валидно e и за [tex][\frac{\infty}{\infty}][/tex] не мисля че това твоето е неопределеност ... лопитал може само когато имаш неопределеност

[allier]

Точно така, portokal. Лопитал се използва, когато границата е неопределена. Когато има израз от вида [tex]\frac{0}{\infty }[/tex], границата е 0, а ако изразът е [tex]\frac{\pm \infty }{0 }[/tex] границата е [tex]\pm \infty[/tex], в зависимост от знака на нулата.

[red]

правилото на Лопитал касае разкриване на неопределеност от вида [tex][\frac{0}{0}][/tex] валидно e и за [tex][\frac{\infty}{\infty}][/tex] не мисля че това твоето е неопределеност ... лопитал може само когато имаш неопределеност

Не само за тях
Използва се и при [tex]0.\infty, \infty-\infty, 1^{\infty }[/tex] ,които се свеждат до горните две, посочени от теб.

Точно така, portokal. Лопитал се използва, когато границата е неопределена. Когато има израз от вида [tex]\frac{0}{\infty }[/tex], границата е 0, а ако изразът е [tex]\frac{\pm \infty }{0 }[/tex] границата е [tex]\pm \infty[/tex], в зависимост от знака на нулата.

Значи [tex]\frac{-\infty }{0 }[/tex] не е неопределеност? Наистина, решава се и без Лопитал. (още в началото писах)

[allier]

Не е неопределеност, за която можеш да приложиш Лопитал. Лопитал се прилага, само когато имаш [tex]\frac{0}{0 }[/tex] или можеш да сведеш до него. Тогава може да се използва развиването в ред на Тейлър от типа [tex]f(x)-f(a)\approx(x-a)f'(a)[/tex] и съответно да съкратиш числителя и знаменателя на множителя (x-a), което елиминира нулите. Все едно смяташ [tex]\frac{x(x+1)}{x(x+2) }[/tex] при [tex]x\approx 0[/tex].

[red]

Благодаря.

[mkmarinov]

Не е неопределеност, за която можеш да приложиш Лопитал. Лопитал се прилага, само когато имаш [tex]\frac{0}{0 }[/tex] или можеш да сведеш до него.

При [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex] също може директно да се използва Лопитал.

[nevqnka]

Трябва да напиша курсова работа по мат.анализ! Как се решават задачи със следните неопределени форми [0°],[1∞],[∞°],[+∞;-∞]. Някой може ли да ми помогне! Ще съм му много благодарна

[maieutiquer]

Брей, тука и на Нова година се решават задачи ^^

Този форум ми харесва =]

[stflyfisher]

Трябва да напиша курсова работа по мат.анализ! Как се решават задачи със следните неопределени форми [0°],[1∞],[∞°],[+∞;-∞]. Някой може ли да ми помогне! Ще съм му много благодарна

Tеореми на Лопитал:

[tex]\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= [\frac{0}{0}]=\lim_{x \to a} \frac{f(x)'}{g(x)'}[/tex]

[tex]\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= [\frac{\infty }{\infty }]=\lim_{x \to a} \frac{f(x)'}{g(x)'}[/tex]

Преобразуване на граници с неопределености за използване на Теоремите на Лопитал:

1.)[tex]\lim_{x \to a} f(x).g(x)= [0.\infty ]=\lim_{x \to a} \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}=[\frac{\infty }{\infty }][/tex]

или

[tex]\lim_{x \to a} f(x).g(x)= [0.\infty ]=\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}=[\frac{0}{0 }][/tex]

2.)[tex]\lim_{x \to a}[f(x)-g(x)]=[\infty -\infty ]= \lim_{x \to a}f(x).[1-\frac{g(x)}{f(x)}][/tex]

или

[tex]\lim_{x \to a}[f(x)-g(x)]=[\infty -\infty ]= \lim_{x \to a}g(x).[\frac{f(x)}{g(x)}-1][/tex]

Отделно се пресмята: [tex]\lim_{x \to a}\frac{g(x)}{f(x)}[/tex] или съответно[tex]\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] ,

която най-често е равна на 1 и се свежда до 1.)

Заб: Ако [tex]f(x)= \frac{A(x)}{B(x)}, g(x)= \frac{C(x)}{D(x)}[/tex], то

[tex]\lim_{x \to a}[f(x)-g(x)]=\lim_{x \to a} \frac{A(x).D(x)-C(x).B(x)}{B(x).D(x)}[/tex]


3.)[tex]\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=[0^0];[1^\infty ];[\infty ^0] = e^{\lim_{x \to a} ln [f(x)^{g(x)}]}=e^{\lim_{x \to a} g(x).ln [f(x)]}[/tex]

Заб: При [tex]A>0, A=e^{ln A}[/tex]

Отделно се пресмята:[tex]\lim_{x \to a} g(x).ln [f(x)]=[0.\infty ];[\infty .0];[0.\infty ]=>[/tex] 1.)

[tex]=>\lim_{x \to a} g(x).ln [f(x)]=\lim_{x \to a} \frac {ln [f(x)]}{\frac{1}{g(x)}}=[\frac{\infty }{\infty }];[\frac{0}{0}];[\frac{\infty }{\infty }]=\lim_{x \to a} \frac {(ln [f(x)])'}{(\frac{1}{g(x)})'}=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to a} \frac {\frac{1}{f(x)}.f'(x)}{-\frac{1}{[g(x)]^2}g'(x)}=-\lim_{x \to a} \frac {f'(x).[g(x)]^2}{f(x).g'(x)}[/tex]

или

[tex]=>\lim_{x \to a} g(x).ln [f(x)]=\lim_{x \to a} \frac {g(x)}{\frac{1}{ln [f(x)]}}=[\frac{0 }{0 }];[\frac{\infty }{\infty }];[\frac{0}{0}]=\lim_{x \to a} \frac {g'(x)}{(\frac{1}{ln[f(x)]})'}=[/tex]

[tex]\lim_{x \to a} \frac {g'(x)}{-\frac{1}{ln^2[f(x)]}.f'(x)}=-\lim_{x \to a} \frac {g'(x).ln^2 [f(x)]}{f'(x)}[/tex]


[tex]\lim_{x \to a} g(x).ln [f(x)]=.......= m => \lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}=e^m[/tex]

[nevqnka]

Трябва да реша четири задачи със следните неопределени форми [0°];[1∞];[∞°];[+∞,-∞] и да обесня как са решени. Някой можели да ми помогне.

[stflyfisher]

Трябва да реша четири задачи със следните неопределени форми [0°];[1∞];[∞°];[+∞,-∞] и да обесня как са решени. Някой можели да ми помогне.

Ти прочете ли по-горния ми пост? Ако си го прочела и пак пишеш това, става ясно, че не си разбрала какво съм написал.

[nevqnka]

да прочетох го и съжалявам че се повтарям но понеже нищо не разбирам и реших пак да питам.това дето си го написал са формули доколкото разбрах а на мен ми тябват задачи.тези формули мога ли да ги представя като курсова работа?

[stflyfisher]

да прочетох го и съжалявам че се повтарям но понеже нищо не разбирам и реших пак да питам.това дето си го написал са формули доколкото разбрах а на мен ми тябват задачи.тези формули мога ли да ги представя като курсова работа?

Това са общите подходи за разкриване на различните неопределености и след това прилагането на Теоремите на Лопитал. Това е теория, а задачи по тази тема има колкото искаш в този форум.

[allier]

Никой няма да ти направи наготово курсувата работа. Ти какво искаш, да ти напишем всичко и да ти го изпратим на файл, който директно да предадеш ли?

Ако имаш конкретни задачи за решаване, напиши една, две и ще ти покажем как се прилагат формулите. Ако търсиш задачи, които се решават с Лопитал, във форума вече има доста. Потърси в предните теми.