Граница - къде е грешката в сметките?

[ferry2]

[tex]\lim_{x \to 5} \frac{4-\sqrt{21-x}}{\sqrt[3]{x-13}+2}=\lim_{x \to 5} \frac{4-\sqrt{21-x}}{\sqrt[3]{x-13}+2} \cdot \frac{[(\sqrt[3]{x-13})^2-2\sqrt[3]{x-13}+4]}{(\sqrt[3]{x-13})^2-2\sqrt[3]{x-13}+4}=[/tex]

[tex]=\lim_{x \to 5} \frac{(4-\sqrt{21-x})[(\sqrt[3]{x-13})^2-2\sqrt[3]{x-13}+4]}{x-5} \cdot \frac{(4+\sqrt{21-x})}{(4+\sqrt{21-x})}=\lim_{x \to 5}\frac{\cancel{(x-5)}[(\sqrt[3]{x-13})^2-2\sqrt[3]{x-13}+4]}{\cancel{(x-5)}(4+\sqrt{21-x})}=[/tex]

[tex]=\frac{4+4+4}{4+4}=\frac{3}{2}[/tex]

Това получавам аз, но отговорът е 0. Къде греша?

[portokal]

според мен никъде не бъркаш и задачата е вярно решена
сигурно е объркано в учебника
дали е така най-лесно можеш да провериш като начертаеш функцията с някаква програма примерно graph и да видиш как стоят нещата

[dimy93]

или пак така:
google
заместваш с няколко стойности все по -близки до 5 и ще видиш дали си го сметнал

[ferry2]

Да, но според wolframalpha отговорът е друг: http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+[%284-sqrt%2821-x%29%29%2F%28%28x-13%29^%281%2F3%29%2B2%29]+x-%3E+5 .

[seppen]

като приложих Лопитал и после намерих границата беше 3/4 (-1) ^(2/3) - с wolfram
Не знам защо така се получава. Пробва ли да го пуснеш на обикновена Mathematica?

[ferry2]

Пробвах и отново отговорът е 0.

[seppen]

Пресмята границата само на знаменателя i(sqrt(3) - 3i). Не знам какво не му харесва на (-1)^(1/3), но винаги го представя като комплексно число. Оттук идват нещата.

[int]

Причината е, че при рационализацията не е отчетен правилно знаменателя, който е [tex]5 \sqrt[3]{x-13}+2[/tex], а не [tex]\sqrt[3]{x-13}+2.[/tex] Ако условието беше с последния знаменател, тогава решението щеше да е вярно.

А между другото, по отношение на програмите, трябва да се подхожда с повишено внимание, тъй като в доста случаи могат да дадат грешен резултат, особено ако се въвеждат данните неправилно. Така например [tex](-1)^{\frac{1}{3}}[/tex] е нещо много различно от [tex]\sqrt[3]{-1}[/tex]. Първото изобщо няма смисъл, ако се работи над полето на реалните числа, защото степенната функция на реална променлива се дефинира само за положителни стойности на аргумента. Ако искаме да дефинираме такава функция и за отрицателни стойности, трябва да извличаме комплексен логаритъм от отрицателно число, което дава цяла безкрайна съвкупност от комплексни числа. При корен трети, имаме една стойност, ако работим над реалните числа и цели 3, ако работим над комплексните.

[ferry2]

Причината е, че при рационализацията не е отчетен правилно знаменателя, който е [tex]5 \sqrt[3]{x-13}+2[/tex], а не [tex]\sqrt[3]{x-13}+2.[/tex]

5-цата не е част от знаменателя, а е числото към, което клони x => знаменателят си е точно [tex]\sqrt[3]{x-13}+2[/tex] .

[int]

Хахаа, вярно бре! Извинявам се, много неразумно недоглеждане.

[ferry2]

Е значи проблемът си е в програмата .

[dimy93]

Е в крайна сметка 3/2 ли е или 0
Не виждам причина да е 0 ама нали така твърдите..

[ferry2]

Никой не твърди, че е 0. Това е отговорът, който получавам от Mathematica. И ви зададох въпрос дали има грешка в решението ми.

[MMaster]

Чрез дефиницията на Коши за граница на функция докажете, че [tex]\lim_{x\to\1} (x^{2}+1)=2[/tex].
Ако някой може да онагледи с конкретен пример и числа дефиницията на Коши, че принципно горе-долу разбирам за какво иде реч, но още малко внасяне на яснота няма да е зле!