Граница??

[TheDonchev]

Limes.gif (1.78 KiB) Прегледано 531 пъти

[Martin Nikovski]

[tex]\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{3n+1}-\sqrt{2n-3}+\sqrt{n-4}}{\sqrt{5n+1}+\sqrt{3n-4}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}-\sqrt{n\left(2-\frac{3}{n}\right)}+\sqrt{n\left(1-\frac{4}{n}\right)}}{\sqrt{n\left(5+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n\left(3-\frac{4}{n}\right)}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancel{\sqrt{n}}\left(\sqrt3-\sqrt2+\sqrt1\right)}{\cancel{\sqrt{n}}\left(\sqrt5+\sqrt3 \right)}=[/tex]
[tex]=\frac{\left(\sqrt3-\sqrt2+1\right)\left(\sqrt5-\sqrt3 \right) }{\left(\sqrt5+\sqrt3 \right)\left(\sqrt5-\sqrt3 \right)}=\frac{\left(\sqrt3-\sqrt2+1\right)\left(\sqrt5-\sqrt3 \right) }{2 }[/tex]

[TheDonchev]

Limes.gif (1.88 KiB) Прегледано 492 пъти

Малко помощ със тази граница, ако има ентусиасти разбира се

[Martin Nikovski]

Хмм... има, разбира се... Само кажи [tex]n\to \infty[/tex] ли е или [tex]x\to \infty[/tex], че много не се вижда...
Предполагайки, че е [tex]n[/tex], и тази ще ти я реша, но следващата - сам!
[tex]\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{3n^2-2}+n+1}{\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{3n^2+4}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}-\sqrt{n^2\left(3-\frac{2}{n^2}\right)}+n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}+\sqrt{n^2\left(3+\frac{4}{n^2}\right)}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\cancel n\left(\sqrt 1-\sqrt3+1\right)}{\cancel{n}\left(\sqrt2+\sqrt3 \right)}=[/tex]
[tex]=\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3 } =\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt3 } .\frac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}=\left(2-\sqrt3\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right)[/tex]
Нищо по-различно, нали?
П.П. Тук използвам, че [tex]\sqrt{n^2}=\left|n\right|=n[/tex], тъй като [tex]n>0[/tex]