Граница с корени3

[pipi langstrump]

Намерете границата
[tex]\normal \sqrt{1 - \sqrt{\frac{17}{16} - \sqrt{1 - \sqrt{\frac{17}{16} - \sqrt{1 - ...}} } } }[/tex]

[grav]

Ако е дадено, че границата съществува, тогава се смята лесно, че е 1/2.

[pipi langstrump]

Ако е дадено, че границата съществува, тогава се смята лесно, че е 1/2.

Ще покажеш ли?
Нищо друго не е дадено.

[grav]

Означаваме го с [tex]x[/tex] т.е.

[tex]x=\sqrt{1-\sqrt{\frac{17}{16}-\sqrt{1-\sqrt{\frac{17}{16}-\sqrt{}}}}}[/tex]

тогава

[tex]x=\sqrt{1-\sqrt{\frac{17}{16}-x}}[/tex]

Повдигаме два пъти на квадрат и решаваме. Което води до четвърта степен, но с налучкване се намира корена 1/2 и след проверка се вижда, че е той.

[pipi langstrump]

Проблемът е, че има още един корен, който е кандидат за решение.
С налучкване става, ама нещо не ми харесва така...

[grav]

Под налучкване имах предвид, че се стига до уравнение с рационални коефициенти, за което може да се провери дали има разционални корени, от там идва една втора. Явно съм пропуслнал някой корен. Кой е другия корен?

[pipi langstrump]

Корените са 4, но само два са кандидати за решение. Единият е 1/2, другият - 0,073...

[ptj]

Възможно е редицата да има две различни точки на сгъстяване и затова търсената граница да не съществува.

П.П. В подобни случаи е удобно да се драсне една малка програмка, която показва различните стъпки за да се види как се променя самата редица.

[Добромир Глухаров]

Редица.png (25.01 KiB) Прегледано 679 пъти

Ако започнем от стойност по-малка от левия корен, редицата е разходяща - преминава към комплексни стойности. Ако обаче започнем от допустима стойност по-голяма от левия корен, редицата е сходяща към [tex]0,5[/tex].

[ptj]

Мен силно ме съмнява сходимостта на 2-рата редица заради двата положителни корена в уравнението за границата.

[Добромир Глухаров]

Редицата е сходяща при начална стойност по-голяма от левия корен, но границата не съществува, понеже редицата не е сходяща към [tex]0,5[/tex] за всяка начална стойност.

[Добромир Глухаров]

Редицата е сходяща при начална стойност по-голяма от левия корен, но границата не съществува, понеже редицата не е сходяща към [tex]0,5[/tex] за всяка начална стойност.

Всъщност не съм сигурен, дали последното не е твърде силно изискване за съществуването на граница. Ако е така, можем да приемем, че границата е [tex]0,5[/tex] - просто започваме от [tex]x=1[/tex].

[Добромир Глухаров]

Мен силно ме съмнява сходимостта на 2-рата редица заради двата положителни корена в уравнението за границата.

За по-сигурно можем да намерим първата производна на [tex]f(x)=\sqrt{1-\sqrt{\frac{17}{16}-x}}[/tex] и да покажем, че е положителна в целия интервал от допустими стойности.

[Добромир Глухаров]

http://www.math10.com/f/viewtopic.php?f=65&t=926

В нашия случай обаче, условието на теоремата не е изпълнено за всяко [tex]x[/tex] надясно от левия корен и въпреки това за тези [tex]x[/tex] редицата е сходяща, понеже за тях [tex]f(x)>x[/tex], а ако пък [tex]f(x)<x[/tex], то [tex]|f'(x)|<1[/tex] за [tex]x[/tex] близко до [tex]0,5[/tex].