Редица

[Mr.G{}{}Fy]

Да се докаже,че редицата с общ член [tex]an=(1+\frac{1}{2 } )(1+\frac{1}{ 4} )+...+(1+\frac{1}{2^n })[/tex] е ограничена.

[ganka simeonova]

Оправи знаците м/у скобите. Какъв е знакът м/у тях- събиране или умножените?

[Mr.G{}{}Fy]

Оправи знаците м/у скобите. Какъв е знакът м/у тях- събиране или умножените?

Извинявам се,в бързината съм писал глупости.Коректното условие е:
[tex]an=(1+\frac{1}{2 } )(1+\frac{1}{ 4} )...(1+\frac{1}{2^n })[/tex] т.е. умножаванка си е

[drago]

Виж тук:
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
още в началото- Convergence criteria.

[ptj]

Да се докаже,че редицата с общ член [tex]an=(1+\frac{1}{2 } )(1+\frac{1}{ 4} )+...+(1+\frac{1}{2^n })[/tex] е ограничена.

Тя е подредица на [tex]b_n=\sum_0^n\frac{1}{2^n }=\frac{\sum_0^n{2^n}}{2^n }=\frac{2^{n+1}-1}{(2-1)2^n }<2[/tex] (сума на геометрична прогресия ), която е монотонно растяща, ограничена има за граница числото 2. От това следва, че и [tex]a_n[/tex] e монотонно растяща, ограничена и има същата граница.

[ganka simeonova]

Да се докаже,че редицата с общ член [tex]an=(1+\frac{1}{2 } )(1+\frac{1}{ 4} )+...+(1+\frac{1}{2^n })[/tex] е ограничена.

Тя е подредица на [tex]b_n=\sum_0^n\frac{1}{2^n }[/tex] (геометрична прогресия), която е монотонно растяща, ограничена има за граница числото 2. От това следва, че и [tex]a_n[/tex] e монотонно растяща, ограничена и има същата граница.

?????

[ptj]

Разпиши 2-3 члена (разкрий скобите) и ще се убедиш (,че е подредица). Използвах и теоремата, че всяка подредица на сходяща редица е също сходяща и има същата граница (като базовата редица).

[ganka simeonova]

Разпиши 2-3 члена (разкрий скобите) и ще се убедиш (,че е подредица). Използвах и теоремата, че всяка подредица на сходяща редица е също сходяща и има същата граница (като базовата редица).

Съгласна съм с теб ( не мисли, че се заяждам ), но как само с 2-3 члена да докажем, че е подредица?

[ptj]

Разпиши 2-3 члена (разкрий скобите) и ще се убедиш (,че е подредица). Използвах и теоремата, че всяка подредица на сходяща редица е също сходяща и има същата граница (като базовата редица).

Съгласна съм с теб ( не мисли, че се заяждам ), но как само с 2-3 члена да докажем, че е подредица?

Може да се покаже директно [tex]a_n=b_{(2^n)}[/tex] или посредством [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{b_(2^{n+1})}{b_(2^n) }[/tex]

П.П. Допълних малко и предишното си мнение.

[mkmarinov]

[tex]\sqrt[n]{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4}) \dots (1+\frac{1}{2^n})} \le \frac{n+\sum2^{-i}}{n}<\frac{n+1}{n}[/tex], откъдето
[tex]a_n < e[/tex]

[ganka simeonova]

[tex]\sqrt[n]{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4}) \dots (1+\frac{1}{2^n})} \le \frac{n+\sum2^{-i}}{n}<\frac{n+1}{n}[/tex], откъдето
[tex]a_n < e[/tex]

Това ми хареса вече

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]\sqrt[n]{(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4}) \dots (1+\frac{1}{2^n})} \le \frac{n+\sum2^{-i}}{n}<\frac{n+1}{n}[/tex], откъдето
[tex]a_n < e[/tex]

Тенк Ю

[ganka simeonova]

стейнджър, оправи си писанията

[ptj]

За тези, които все още не са схванали идеята ми:

[tex]a_{n+1}=a_n(1+\frac{1}{2^n })[/tex]

[tex]a_1=(1+\frac{1}{2 })=b_2[/tex]

[tex]a_2=(1+\frac{1}{2 })(1+\frac{1}{4 } )=1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{4 }+\frac{1}{8 }=b_4[/tex]

[tex]a_3=(1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{4 }+\frac{1}{8 })(1+\frac{1}{8 }) =
1+\frac{1}{2 }+\frac{1}{4 }+\frac{1}{8 }+\frac{1}{16 }+\frac{1}{32 }+\frac{1}{64 }+\frac{1}{128 } =b_{(2^3)}=b_8[/tex]
...
[tex]a_n=b_{(2^n)}=\sum_0^{2^n}\frac{1}{2^n }[/tex]

П.П. Карате ме да обеснявам очевадни факти.

[ganka simeonova]

ptj, благодаря за разяснението:). И твоето решение е суперско. Аз не забелязах този факт. 10х:)

[allier]

Ptj, провери си сметките за [tex]a_{3}[/tex]. Нещо не излизат ....

[ptj]

Да, сега видях.

Получава се: 1+1/2+1/4+1/8+1/8+1/16+1/32+1/64. Утре ще я мисля.

[strangerforever]

По-дълга идея, но за протокола, може и с индукция.

[Mr.G{}{}Fy]

По-дълга идея, но за протокола, може и с индукция.

Може ли да разпишеш отгоре отгоре идеята?

[strangerforever]

Доказваш за 1, допускаш, че съществува такова N > a_k, умножаваш по (1 + 1/2^n) и доказваш, че и k+1 е ограничен, и авторското решение е такова.

[Mr.G{}{}Fy]

Получавам,че следващия член е между N и 3N/2 и какво от това ? Не трябва ли да докажем,че всичките членове са по-малки от някакво си друго число.Ако може сега пояснение,че явно не схващам логиката.

[strangerforever]

Цитирам решението на авторите:

Проверяваме верността на твърдението при [tex]n = 1[/tex].

Очевидно [tex]1 + \frac{1}{2} < 2[/tex].

Допускаме, че твърдението е вярно при [tex]n = k + 1[/tex], т.е. доказваме

[tex](1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{4})...(1+\frac{1}{2^k}) < N[/tex]

Доказваме, че твърдението е вярно при [tex]n = k + 1[/tex], т.е. доказваме

[tex](1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{4})...(1+\frac{1}{2^k})(1 + \frac{1}{2^{k+1}} < N_1[/tex]

Доказателство:

[tex](1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{4})...(1+\frac{1}{2^k})(1 + \frac{1}{2^{k+1}} < N(1 + \frac{1}{2^{k+1}}) < N.2 = N_1[/tex]

Следователно твърдението е вярно за всяко [tex]n \in N[/tex]

Нарочно цитирам решението, защото най-вероятно ще възникнат спорове за коректността на решението, в които аз нямам желание да участвам

[Mr.G{}{}Fy]

Това се чудя-коректно ли е това решение? И това N1 от къде се появява ... То колко има да се спори ... просто някой компетентен да отговори А попринцип в решенията на учебниците май има доста грешки или неточности. Нека някой да каже дали е коректно решението,което strangerforever е цитирал.Иначе mkmarinov даде кратко и достъпно решение,но ако има още 1 по добре да го разберем

[allier]

Решението е уникално, да
Излиза, че редицата е по-малка от безкрайност, което си го знаем и без индукция.

[ptj]

Решението е некоретно, защото {[tex]2^n[/tex]} е неограничена (има безкрайна точка на сгъстяване).