Граница, провокирана от предна задача

[ganka simeonova]

Да се докаже,че редицата с общ член

[tex]\frac{1}{ 2} +\frac{1}{2^2} +\frac{2}{2^3} +\frac{3}{ 2^4} +\frac{5}{ 2^5} +...+\frac{a_n}{2^n }[/tex] има граница 2.

[mkmarinov]

[tex]\frac{a_n}{2^n}[/tex] или [tex]\frac{n}{2^n}[/tex] ?

[ganka simeonova]

Това, което съм написала
[tex]\frac{a_n}{2^n }[/tex]

[strangerforever]

Да се докаже,че редицата с общ член

[tex]a_n=\frac{1}{ 2} +\frac{1}{2^2} +\frac{2}{2^3} +\frac{3}{ 2^4} +\frac{5}{ 2^5} +...+\frac{a_n}{2^n }[/tex] има граница 2.

Как така дефинираш едно понятие, използвайки самото понятие? Това е една безкрайна рекурсия?

[ganka simeonova]

Да се докаже,че редицата с общ член

[tex]\frac{1}{ 2} +\frac{1}{2^2} +\frac{2}{2^3} +\frac{3}{ 2^4} +\frac{5}{ 2^5} +...+\frac{a_n}{2^n }[/tex] има граница 2.

За да не стане объркване махнах изрзаването. Вече май ми се спи
Просто съобразете как се получава общият член за числителя..

[mkmarinov]

Мисля си, че [tex]F_n[/tex] би било по-добро означение .

[ganka simeonova]

Мисля си, че [tex]F_n[/tex] би било по-добро означение .

Това е за протокола
За да сме точни: [tex]a_n=a_{n-1}+a_{n-2} (n\ge 3); a_1=a_2=1[/tex]

[ptj]

Че реда е сходим следва от признака на Даламбер (положителни членове) :
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n }=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{F_{n+1}}{2^{n+2} }}{\frac{F_n}{2^{n+1} } }=\lim_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{2.F_n }=\frac{1}{2 }\varphi=\frac{1+\sqrt{5} }{4 }\approx 0.8091<1[/tex]

[ptj]

Границата му е по-голяма или равна на 1, защото той мажорира реда [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{ 2^n}[/tex].

[allier]

Хубава задача. Редицата се самопоражда, като се разпише: [tex]\frac{f(n)}{2^n }=\frac{1}{2 } \frac{f(n-1)}{2^{n-1} } +\frac{1}{4 } \frac{f(n-2)}{2^{n-2} }[/tex] и се изчистят началните членове.

[ganka simeonova]

Хубава задача. Редицата се самопоражда, като се разпише: [tex]\frac{f(n)}{2^n }=\frac{1}{2 } \frac{f(n-1)}{2^{n-1} } +\frac{1}{4 } \frac{f(n-2)}{2^{n-2} }[/tex] и се изчистят началните членове.

[Mr.G{}{}Fy]

Няма ли някой да я разпише?

[mkmarinov]

Редът може да се представи като разлика на два безкрайни геометрични реда.
От [tex]F_n=\frac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt{5}}[/tex],
[tex]S_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\sum_{i=1}^{\infty}(\frac{\varphi}{2})^n-\sum_{i=1}^{\infty}(\frac{1-\varphi}{2})^n)=\\=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1}{1-\frac{\varphi}{2}}-\frac{1}{1-\frac{1-\varphi}{2}})=\frac{2}{\sqrt{5}}(\frac{1}{2-\varphi}-\frac{1}{1+\varphi})=\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{1+\varphi-2+\varphi}{(2-\varphi)(1+\varphi)}=\\=\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{2\varphi-1}{2+\varphi-\varphi^2}=\frac{2}{\sqrt{5}}.(2\varphi-1)=\frac{2}{\sqrt{5}}(\sqrt{5}+1-1)=2[/tex]