Задачи с дефениционни множества, граници, производни

[Гост]

Ако може някой да помогне с примерите от 1 и 2 задача и по възможност 1-2 примера от 3 ще съм много благодарен.Знам че задачите са лесни но съм си забравил учебника в квартирата и не мога да ги разбера.Отново благодаря ако някой успее.

[martin123456]

1.
a) знаменателят не може да е 0, значи ДО е [tex]x\in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/tex]
б) изграждащите фунции са дефинирани навсякъде, значи ДО е [tex](-\infty,+\infty)[/tex]
в) [tex]\ln{x}[/tex] е дефинирана, когато [tex]x>0[/tex], значи [tex]2x-1>0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}\Rightarrow[/tex] ДО е [tex]x\in (\frac{1}{2},+\infty)[/tex]

2.
a) [tex]\lim_{x\to \infty}\frac{x^4-2x+3}{1-2x^3}=\lim_{x\to \infty}\frac{x-2\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^3}}{\frac{1}{x^3}-2}=\lim_{x\to \infty}\frac{x-0+0}{0-2}=-\infty[/tex]
б) [tex]\lim_{x\to 2^+}\frac{e^{-2x}}{2-x}=\frac{e^{-4}}{0^+}=+\infty[/tex]
в) [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln{x}}{x^2}[/tex]. Използваме Лопитал, понеже и числителят и знаменателят клонят към безкрайност. [tex]\ldots = \lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{2x^2}=0[/tex]

3.
a) [tex]y=4x-x^{\frac{1}{2}}+2x^{-\frac{2}{3}}-5\Rightarrow y'=4-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2(-\frac{2}{3})x^{-\frac{5}{3}}=4-\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{3x\sqrt[3]{x}}[/tex]
б) [tex]y=x^4e^{2x}\Rightarrow y'=4x^3e^{2x}+x^4e^{2x}(2x)'=4x^3e^{2x}+2x^4e^{2x}[/tex]
в) [tex]y=\frac{\sin{3x}}{x^2}\Rightarrow y'=\frac{\cos{3x}(3x)'x^2-\sin{3x}2x}{x^4}=\frac{3x^2\cos{3x}-2x\sin{3x}}{x^4}[/tex]
г) [tex]y=arctg(x^3)\Rightarrow y'=\frac{1}{x^6+1}(x^3)'=\frac{3x^2}{x^6+1}[/tex]

4.
a) [tex]2\int{x^2dx}-3\int{xdx}+\int{x^{-2}dx}-4\int{x^{\frac{1}{2}}dx}+5\int{dx}=\frac{2}{3}x^3-\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{x}-4.\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+5x[/tex]
б) [tex]\int{\frac{1}{5x-2}dx}=\frac{1}{5}\int{\frac{1}{5x-2}d(5x-2)}=\frac{\ln{(5x-2)}}{5}[/tex]
в) [tex]\int{\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx}=\int{\frac{1}{2\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}d\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}arcsin{\frac{x}{2}}[/tex]
г) [tex]\int{\cos{4x}dx}=\frac{1}{4}\int{\cos{4x}d4x}=\frac{1}{4}\sin{4x}[/tex]

[crazy_nadka]

Някой може ли да ми помогне с задачите с множествата! Благодаря ви предваритлено!