Интересна задача - разяснение

[matematikforever]

Задачата е от приемен изпит за софийския през 2006.

Да се намерят стойностите на реалните параметри b и c, за които
неравенството
|8x^2 + bx + c| ≤1 е изпълнено за всяко число х от интервала [0;1].

Има публикувано решение ,но от него нищо не се разбира. Ако може някой да обясни ще е чудесно.

[strangerforever]

Да допуснем, че съществуват такива стойности.

При[tex]x = 1[/tex] имаме [tex]-1 \le 8 + b + c \le 1[/tex] (1)
При [tex]x = \frac{1}{2}[/tex] имаме [tex]- 1 \le 2 + \frac{b}{2} + c \le 1[/tex] (2)
При [tex]x = 0[/tex] имаме [tex]-1 \le c \le 1[/tex] (3)

След елементарни преобразувания на дясната страна на (1) достигаме до [tex]-b-c \ge[/tex]7 (4)
Преработваме по същия начин лявата страна на (2) и достигаме до [tex]b + 2c \ge -6[/tex] (5)

Събираме ги и получаваме [tex]c \ge 1[/tex]. Вземайки предвид и (3) намираме [tex]c = 1[/tex].

Сега (4) става [tex]b \le -[/tex]8, а (5) става [tex]b \ge -8[/tex], значи [tex]b = -8[/tex].

Сега трябва да заместиш с b= -8; c = 1 и да провериш дали всяко число от [0;1] е решение.

[matematikforever]

те тея стойности 1, 1/2 и 0 са си от интервала [0;1] ,но защо взимам точно тях. Защо не взимам 1/3, 1/4, 1/5 например. И откъде да знам ,че ще ми трябват 3 числа от интервала ,а не само 2. Иначе другото го разбирам.

[inveidar]

Значи, в задачи от този тип се взимат обикновенно конкретни стойности. Защо точно тези? Защото са възможно най-простите. Ти ако искаш вземи и [tex]\frac{\pi }{ 4}[/tex], но незнам какво ще правиш после. Защо взимаш три, а не две стойности? Ами ти взимаш първо една. Не става. Взимаш втора. Пробваш пак. Пак не става. Взимаш трета. Ако не стане и с нея, можеш да вземеш и четвърта. И те така.

[matematikforever]

На мене ми изглежда супер нагласено като гледам решението. Прави ми впечатление ,че се взимат крайните стойности на интервала и неговата среда.Реално ако не взема тях има шанс да пробвам и 10 числа от интервала и да не намеря отговор. Щото това a>= 1 и a<=1 ми са струва ,че няма да се получи.

[Гост]

Според мен, ученическо решение на тази задача е да се разгледа къде е абсцисата на върхът на параболата. Има 5 случая: [tex]x_v<0,\ x_v>1,\ 0<x_v<1/2,\ 1/2<x_v<1[/tex] и [tex]x_v=1/2[/tex]. В първите 4 случая не ставa.

[inveidar]

На мене ми изглежда супер нагласено като гледам решението. Прави ми впечатление ,че се взимат крайните стойности на интервала и неговата среда.Реално ако не взема тях има шанс да пробвам и 10 числа от интервала и да не намеря отговор. Щото това a>= 1 и a<=1 ми са струва ,че няма да се получи.

Супер нагласено щеше да бъде, ако не става с крайните стойности и средата, а с някакви други!
Това с краищата си е напълно нормално в случая.

[mkmarinov]

На мене ми изглежда супер нагласено като гледам решението.

Не си гледал достатъчно решения

[Гост]

Така да ви кажа по лесния начин за решение. Тъй като аз не мога да приема това с 0 , 1/2 и 1 за решение. Функцията е квадратна. Тъй като графиката е парабола която (не знам точно как се казваше) от ляво и от дясно спрямо центъра се движи еднакво => че върха на графиката е равен на 1/2. И от формулата за върха има само 1 неизвестно b и така се намира ,че b= -8. След това вече за a става елементарно.

[strangerforever]

Така да ви кажа по лесния начин за решение. Тъй като аз не мога да приема това с 0 , 1/2 и 1 за решение. Функцията е квадратна. Тъй като графиката е парабола която (не знам точно как се казваше) от ляво и от дясно спрямо центъра се движи еднакво => че върха на графиката е равен на 1/2. И от формулата за върха има само 1 неизвестно b и така се намира ,че b= -8. След това вече за a става елементарно.

Хмм, нека помисля... не.

[inveidar]

=> че върха на графиката е равен на 1/2.

Откъде накъде?!?!?! Ти по тази логика ще изкараш, че параболата има безброй върхове!!! Взимаш един затворен интервал и хоп - средата му е връх на параболата?! Недей така, не ни страхувай!