Производни

[Гост]

Намерете реалните стойности на параметъра [tex]p[/tex],при които[tex]f(x)[/tex] има локален екстремум:
а) [tex]f(x)=px^3-2x^2+(p-\sqrt{3} )x + 1[/tex]
б)[tex]f(x)=p.sinx+\frac{1}{3 } .sin3x[/tex]

[Гост]

Ако [tex]x^{*}[/tex] е екстремална точка за [tex]f(x)[/tex], то [tex]f'(x^{*})=0[/tex]. Това идва да покаже, че като сметнеш [tex]f'(x)[/tex] и приравниш на нула, ще получиш какво ти трябва.

[Гост]

[tex]f(x)=px^3-2x^2+(p-\sqrt{3})x+1[/tex]

[tex]f'(x)=3px^2-4x+p-\sqrt{3}[/tex]

За да има само един екстремум, трябва [tex]f'(x)[/tex] да има само една точка, в която си сменя знака, т. е. [tex]f'(x)=0[/tex] трябва да има само един корен.

[tex]D=4 \left [ 4-3p(p-\sqrt{3}) \right ]=0[/tex], за да има само един корен.

[tex]4-3p^2+3\sqrt{3}p=0, \quad 3p^2-3\sqrt{3}p-4=0[/tex] и намираш двете [tex]p[/tex]-та.

[tex]p_{1}=\frac{4}{\sqrt{3}}, \quad p_{2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex]

[Гост]

За другото не съм много сигурен, но ще ти напиша какво си мисля.

[tex]f(x)=p \sin x + \frac{1}{3} \sin 3x, \quad f'(x) = p \cos x + \cos 3x[/tex]

Това е четна функция, т. е. ако [tex]x_{0}[/tex] е решение на [tex]f'(x)=0[/tex], то и [tex]-x_{0}[/tex] е решение. Тогава за да е единствено решението (за да има само един екстремум), трябва

[tex]x_{0} = -x_{0} \Rightarrow x_{0}=0[/tex].

[mkmarinov]

Я кажи, квадратната функция когато има само един корен, колко пъти си сменя знака

[Гост]

По Първата пише да има локален екстремум-т.е. може да има и 2.А относно това решение по нея:ако D=0 ,Функцията на производната (при начертаването и) е положителна,след това -0 и след това положителна т.е. има критична точка,но интервалите наляво и надясно от нея са с еднакви знаци т.е. тогава няма екстремум?За това постнах задачата,тъй като според мен точно тези 2 отговора не са решения,а те ги дават,че са.
По втората,аз я правя така: докарвам я до [tex]cosx(4cos^2x +p-3)=0[/tex] (това е производната)
Ако [tex]cosx=0[/tex],т.е. [tex]cosx\ne0[/tex]то фрагиката на функцията съвпада с абцисата и няма локален екстремум.Ако разгледаме израза в скобите ни става ясно,че [tex]p\in [-1;3)[/tex],тъй като от [tex]cosx\ne 0 ===> cos^2x\ne 0 ===> p\ne 3[/tex],но тук дават,че -1-цата не е р-е. Може ли да ми кажете дали са ми верни разсъжденията?