Отново задачка с 2 функции

[Mr.G{}{}Fy]

Уравнението [tex]x^2+px+q=0[/tex],има реални корени и те са различни и са такива,че единият е по-малък,а другият по-голям от [tex]1[/tex].Д асе подредят корените на уравненията [tex]x^2+px+q=0[/tex] и [tex]x^2 +qx+p=0[/tex] при [tex]p>q[/tex] .Ако може обяснение,а не само отговор.Благодаря,предварително.

[Гост1]

Нека корените на първото уравнение са [tex]x_1,x_2[/tex], а на второто - [tex]x_3,x_4[/tex].
Понеже 1 е между корените на първото уравнение, то [tex]1^2+p\cdot 1+q<0[/tex], следователно [tex]p+q<0[/tex], което означава, че 1 е между корените и на второто уравнение. От това и [tex]p>q[/tex] следва [tex]0>q[/tex].
Без ограничение [tex]x_1<1<x_2[/tex] и [tex]x_3<1<x_4[/tex].
От формулите на Виет имаме:
[tex]-x_1-x_2=x_3x_4[/tex] (1)
[tex]x_1x_2=-x_3-x_4[/tex] (2)
Имаме [tex]x_3+x_4=-q>0[/tex](3).
Също така [tex]x_3+x_4=-q>-p=x_1+x_2[/tex], което приложено в (1) дава [tex]x_4+x_4x_3+x_3> 0[/tex](4), а това води до [tex](x_4+1)(x_3+1)>1[/tex]. От последното следва, че [tex]x_3>-1[/tex](5).
Изразяваме [tex]x_1[/tex] от (1) и заместваме в (2). Получаваме [tex]x_2^2+x_2x_3x_4-x_3-x_4=0[/tex]. Решаваме като квадратно относно [tex]x_2[/tex] и получаваме [tex]x_2= \frac{-x_3x_4+\sqrt{x_3^2x_4^2+4(x_3+x_4)}}{2}[/tex](ако пред корена имаше минус, това би означавало, че [tex]x_2<0[/tex] - поради (3)). Да допуснем, че [tex]x_2\ge x_4[/tex]. Тогава [tex]\frac{-x_3x_4+\sqrt{x_3^2x_4^2+4(x_3+x_4)}}{2}\ge x_4[/tex]. Последното е еквивалентно на [tex]\sqrt{x_3^2x_4^2+4(x_3+x_4)}\ge x_4(x_3+2)[/tex]. От (5) следва,че дясната страна е положителна. След повдигане на квадрат, прехвърляне отляво и разлагане се стига до [tex](1-x_4)(x_4+x_3+x_3x_4)\ge 0[/tex], което е невъзможно поради (4) и [tex]x_4>1[/tex].
От Формулите на Виет изразявайки [tex]x_1[/tex] (както преди [tex]x_2[/tex]), получаваме [tex]x_1= \frac{-x_3x_4-\sqrt{x_3^2x_4^2+4(x_3+x_4)}}{2}[/tex](ако пред корена беше плюс, то [tex]x_1=x_2[/tex] - невъзможно (също би означавало [tex]x_1>0[/tex], което е невъзможно, понеже [tex]x_1x_2=q<0[/tex]) ). Да допуснем, че [tex]x_1\ge x_3[/tex]. Тогава [tex]\frac{-x_3x_4-\sqrt{x_3^2x_4^2+4(x_3+x_4)}}{2}\ge x_3[/tex]. Това води до [tex]2x_3-x_3x_4\ge \sqrt{x_3^2x_4^2+4(x_3+x_4)}[/tex]. Ако [tex]2>x_4[/tex] - очевидно противоречие. Да приемем все пак обратното. Тогава след повдигане на квадрат и съкращаване от двете страни, получаваме [tex]x_3^2(1-x_4)\ge x_3+x_4[/tex]. Последното очевидно е невъзможно понеже лявата страна на последното е отрицателна, а дясната - положителна.
Така заключаваме [tex]x_1<x_3<x_2<x_4[/tex].

[ganka simeonova]

Означаваме: [tex]f(x)=x^2+px+q; g(x)=x^2+qx+p; p>q=>[/tex] върхът на първата е наляво от върха на втората.(*)
Понеже за първата ф-я: [tex]x_1<1<x_2=>f(1)=p+q+1<0=>g(x)=p+q+1<0=>[/tex] тя има корени/.
Нека корените на втората ф-я са [tex]y_1; y_2[/tex]
[tex]g(x_1).g(x_2)=...=(p-q)^2(p+q+1)<0[/tex](**)
(*) и (**) следва, че:
[tex]x_1<y_1<x_2<y_2[/tex]