Търсене на функция.

[freddy]

Здравейте! Бихте ли ми обяснили как мога да намеря една функция по дадени точки от нея. Независимо каква е функцията. Наистина моля да ми обясните това.

[Добромир Глухаров]

Все пак трябва да знаем още нещо за функцията, освен че дадените точки й принадлежат. Иначе можем да намерим колкото си искаме функции, такива че дадените точки са от графиката на всяка от тях. Но предполагам, че имаш предвид най-простата възможна функция, чиято графика минава през [tex]n[/tex] на брой дадени точки [tex]M_k(x_k;y_k),k=1..n[/tex]. Това е полином от [tex](n-1)[/tex]-ва степен:

[tex]P_{n-1}(x)=a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_{n-1}.x^{n-1}[/tex], за който са в сила равенствата:

[tex]\begin{array}{|l}P_{n-1}(x_1)=y_1\\P_{n-1}(x_2)=y_2\\...\\P_{n-1}(x_n)=y_n\end{array}[/tex]
от която система намираме коефициентите [tex]a_0,a_1,...,a_{n-1}[/tex].

Например: [tex]M_1(-1;1), M_2(0;5), M_3(1,3)[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}P_2(-1)=1\\P_2(0)=5\\P_2(1)=3\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}a_0+a_1.(-1)+a_2.(-1)^2=1\\a_0+a_1.0+a_2.0^2=5\\a_0+a_1.1+a_2.1^2=3\end{array}[/tex]

Като решим тази система, намираме: [tex]a_0=5;a_1=1;a_2=-3[/tex], т.е. [tex]P_2(x)=5+1.x-3.x^2=-3x^2+x+5[/tex]

[freddy]

Това е за квадратна функция, нали?
Ако примерно е казано, че една функция пресича абцисата в 5 точки, например, тогава как ще търсиме?
П.С. 11 клас съм.

[Добромир Глухаров]

Примерът е за квадратна функция - 3 точки. В началото на поста си съм разгледал по-общ случай - полином от [tex](n-1)[/tex]-ва степен, графиката на който преминава през [tex]n[/tex] точки.

В случай, че [tex]n=5[/tex], можем да използваме този общ метод при [tex]y_k=0,k=1..5[/tex] (Но така ще получим [tex]P_4(x)\equiv 0[/tex], което не ни върши много работа) или направо да напишем:

[tex]P_5(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)(x-x_5),a\in\mathbb{R}[/tex], където [tex]x_1,x_2,x_3,x_4,x_5[/tex] са абсцисите на петте точки от абсцисната ос (ординатите са им 0).

[freddy]

Само още 1 въпрос: от какво зависи едно уравнение колко корена има? Смисъл от степента на полинома или не е задължително?

[Добромир Глухаров]

Едно уравнение от n-та степен има n корена, но някои от тях може да съвпадат.

Например [tex]3x^3-2x^2=0\Leftrightarrow x^2(3x-2)=0[/tex] [tex]x_1=x_2=0;x_3=\frac{2}{3}[/tex].

При твоята задача за петте точки приемаме, че никои две от тях не съвпадат, нали?

[freddy]

да. благодаря много!