Една задача от примерната тема в ФМИ

[Гост]

Блъскам си главата с тази задача вече цял ден, затова реших да я публикувам
току-виж някой я реши или ми подскаже малко.
Ето я задачата:
Нека [tex]a, b, c[/tex] са реални числа и [tex]f(x) = x^{2} + ax + b[/tex]. Ако уравнението [tex]f(x) = 0[/tex]
има два различни реални корена, а уравнението
[tex](x^2-2x + c)^{2} + a (x^2-2x + c) + b = 0[/tex]
няма реални корени, да се докаже, че [tex]f(c) > 1[/tex]

Задачата може да намерите под номер 8 е тук.

[Гост]

Нека [tex]a, b, c[/tex] са реални числа и [tex]f(x) = x^{2} + ax + b[/tex]. Ако уравнението [tex]f(x) = 0[/tex]
има два различни реални корена, а уравнението
[tex](x^2-2x + c)^{2} + a (x^2-2x + c) + b = 0[/tex]
няма реални корени, да се докаже, че [tex]f(c) > 1[/tex]

По условие [tex]f(x) = x^2 +ax + b = 0[/tex] има реални корени [tex]x_1, x_2[/tex] [tex]\Rightarrow f(x) = (x-x_1)(x-x_2)[/tex].

Също от условието, имаме че [tex]f(x^2 - 2x + c) = (x^2 - 2x + c - x_1)(x^2 - 2x + c - x_2) \not= 0[/tex], за всяко реално [tex]x[/tex], оттук квадратните фунцкии [tex]x^2 -2x + c - x_1[/tex] и [tex]x^2 -2x + c - x_2[/tex] са положителни [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4 - 4(c - x_1) < 0[/tex];[tex]4 - 4(c - x_2) < 0[/tex] или [tex]c-x_1 > 1; c-x_2 >1[/tex]

Накрая [tex]f(c) = (c-x_1)(c-x_2) > 1.1 = 1[/tex]