Задачи с функции

[Гост]

.zadachi.JPG (26.7 KiB) Прегледано 1310 пъти

Благодаря!

[ammornil]

[tex]f(x)=(x+1)^2.(x-2) \\
\cyr{DM}: \hspace{12} x \in [-2;3] \\
f'(x)=2.(x+1).(x-2)+(x+1)^2=2.(x^2+x-2.x-2)+x^2+2.x+1=3.x^2 \\
f'(x)=2.x^2-2.x-4+x^2+2.x+1=3.x^2-3=3.(x-1).(x+1)=0 \\
x_1=-1, \hspace{12} x_2=1 \\
f''(x)=6.x,
f''(-1)=-6<0 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{2} -\cyr{lokalen maksimum} \\
f''(1)=6>0 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{2} -\cyr{lokalen minimum} \\
f(-1)=0 \\
f(1)=-2 \\
f(-2)=-4 \\
f(3)=16 \\
f_{_{min}}=f(-2)=-4 \\
f_{_{max}}=f(3)=16[/tex]

[ammornil]

За тази задача някъде бъркам в анализа, защото получавам два локални максимума, а в графиката се вижда само един такъв. Ето моите разсъждения, надявам се да са ти от полза.
[tex]g(x)=\frac{x^2+3}{x^2-4x+3} \\
\cyr{DM}: \hspace{4} x^2-4x+3 \ne 0 \hspace{4} \Rightarrow x \in (-\infty;1) \cup (1;3) \cup (3; +\infty) \\
\Rightarrow \cyr{dve vertikalni asimptoti} \hspace{12} x=1 \hspace{4} \cyr{i} \hspace{4} x=3 \\
g'(x)=\frac{2x.(x^2-4x+3)-(2x-4).(x^2+3)}{(x^2-4x+3)^2}=\frac{\cancel{2x^3}-8x^2\cancel{+6x} \cancel{-2x^3} \cancel{-6x}+4x^2+12}{(x^2-4x+3)^2} \\
g'(x)=\frac{-4x^2+12}{(x^2-4x+3)^2}=-\frac{4.(x-\sqrt{3}).(x+\sqrt{3})}{(x^2-4x+3)^2} \\
g'(x)=0 \hspace{4} \Rightarrow x=\pm \sqrt{3} \\
g''(x)=\frac{-8x.(x^2-4x+3)+(4x^2-12).2.(x^2-4x+3).(2x-4)}{(x^2-4x+3)^4}=\frac{(x^2-4x+3).\[-8x+(4x-8).(4x^2-12)\]}{(x^2-4x+3)^4}\\
g''(x)=\frac{-8x+16x^3-48x-32x^2+96}{(x^2-4x+3)^3}=\frac{8.(2x^3-4x^2-5x+12)}{(x^2-4x+3)^3} \\
g''(-\sqrt{3})<0 \hspace{4} \Rightarrow \cyr{lokalen maksimum, no go nyama na grafikata!} \\
g''(\sqrt{3})<0 \hspace{12} \Rightarrow \cyr{lokalen maksimum} \\
\lim_{x \right \pm \infty} \frac{x^2+3}{(x^2-4x+3)}=...=1 \\
\lim_{x \right (1-\epsilon)} \frac{x^2+3}{x^2-4x+3} = +\infty \\
\lim_{x \right (1+\epsilon)} \frac{x^2+3}{x^2-4x+3} = -\infty \\
\lim_{x \right (3-\epsilon)} \frac{x^2+3}{x^2-4x+3} = -\infty \\
\lim_{x \right (3+\epsilon)} \frac{x^2+3}{x^2-4x+3} = +\infty \\[/tex]

[ganka simeonova]

За тази задача някъде бъркам в анализа, защото получавам два локални максимума, а в графиката се вижда само един такъв. Ето моите разсъждения, надявам се да са ти от полза.

[tex]g''(-\sqrt{3})<0 \hspace{4} \Rightarrow \cyr{lokalen maksimum, no go nyama na grafikata!} \\[/tex]

Локалният максимум си е на графиката. Всичко си е наред.Само, че се достига за [tex]x=\sqrt{3}[/tex] Лок. минимум е за [tex]x=-\sqrt{3}[/tex]
Виждаш ли, как тази втора производна те бърка в сметките. Един път вече го дискутирахме. За какво ти е 2-ра производна, след като точките на лок. екстремуми могат да се определят само от 1-вата производна с МИ.

[Гост]

Благодаря Ви много за бързите отговори!
А на първа задача защо се получава, че 6 е минимум а -6 е максимум? Не е ли обратното?

[ganka simeonova]

Благодаря Ви много за бързите отговори!
А на първа задача защо се получава, че 6 е минимум а -6 е максимум? Не е ли обратното?

Стойностите на втората производна 6 и (-6) не ти показват минимума и максимума.
Според критерия, ако една точка [tex]x_0:f'(x_0)=0; f"(x_0)<0=>[/tex]че в тази точка ф-та достига лок. максимум. И обратно, ако втората производна в точка, анулираща първата е положителна, то там се достига лок. минимум.

[strangerforever]

[tex]f''(-1)=-6<0 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{2} -\cyr{lokalen maksimum} \\
f''(1)=6>0 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{2} -\cyr{lokalen minimum} \\[/tex]

Тези два реда са излишни за задачата.