НМС на функция

[Гост]

Здравейте. Трябва ми помощ със следната привидно проста задача:
Да се намери най-малката стойност на функцията [tex]f(x)=\sqrt{x}+\frac{4}{ \sqrt{x}}[/tex]
в затворения интервал [[tex]\frac{1}{ 7} ;7[/tex]]
В случая отговора е [tex]f(4)=4[/tex]
Естествено, първото нещо, което правя е да намеря стойностите в двата интервала, но те не са отговор на задачата, и след това забивам. Работил съм предимно с квадратни функции а тази не е точно такава.
Ако някой може да ми даде насока ще съм много благодарен.

[mail_dinko]

Ще напиша каква е моята идея, но не съм много сигурен, някой математик да каже дали е вярно или не!
[tex]f(x)=\sqrt{x}+\frac{4}{ \sqrt{x}}[/tex]
Най-напред намираме първата производна
[tex]y'=f'(x)=(\sqrt{x}+\frac{4}{ \sqrt{x}})'=(\sqrt{x})'+(\frac{4}{ \sqrt{x}})'=[/tex]
[tex]=(x^{\frac12})'+\frac {4'.x^{\frac12}-4(x^{\frac12})'}{(x^{\frac12})^2}=[/tex]
[tex]=\frac12 x^{-\frac{1}{2}}+\frac {0.x^{\frac12}-2\cancel{.2.}\frac{1}{\cancel{2}}x^{-\frac12}}{(x^{\frac12})^2}=[/tex]
[tex]=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}-\frac{2x^{-\frac{1}{2}}}{x} =[/tex]
[tex]=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}-\frac{2}{x.x^{\frac {1}{2}}}=[/tex]
най-малък общ знаменател, т.е. разширявам първата дроб с [tex]x[/tex], а втората с [tex]2[/tex]
[tex]=\frac{x}{2x.x^{\frac12}-\frac{4}{x.x^{\frac12}=[/tex]
[tex]=\frac{x-4}{2x^{\frac{3}{2}}[/tex]
Намират се нулите на първата производна
[tex]x-4=0--->x=4[/tex]
[tex]2x^{\frac{3}{2}=0[/tex]-- Показателната функция е +, няма как да е нула. Работим само с 4.
Нанасяме на числова ос числото 4. Наляво и надясно правим извивките (трудно ми е така да обясня без рисунка, това е т.нар. метод на интервалите). Дясната част означаваме с +, т.к. в израза х-4 коефициента пред х е положителен +1. Другата, "лява" част се означава с минус. Отдолу под числовата ос, под минуса в лявата част рисуваме стрелка надолу, под плюса в дясната част рисуваме стрелка нагоре. "Четем" отляво надясно: надолу (стрелка надолу, значи намаля до 4), нагоре (стрелка нагоре - след 4 расте). Тъй като първата производна има стойност нула, при стойност на х = 4, то съществува екстремум. Този екстремум е минимум.
Може да се изчисли:
[tex]f_{min } (4)= \sqrt{x} + \frac{4}{\sqrt{x}}=2+2=4[/tex]
[tex]y_{min}=4[/tex]
За интервала обаче не мога да помогна

[ganka simeonova]

Няма какво да му помагаш за интервала:)
[tex]x_{min}\in [\frac{1}{7 } ; 7][/tex]=> за [tex]x=4[/tex] ще се достигне НМС.

[strangerforever]

Известно е, че [tex]t + \frac{4}{t} \ge 4[/tex] за [tex]t > 0[/tex] (доказва се трививално) и равенство се достига точно когато [tex]t = 2[/tex] или в нашия случай [tex]\sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow x = 4 \in [\frac{1}{7};7] \Rightarrow[/tex] min в дадения интервал е [tex]f(4) = 4[/tex]