Изследване на f(x)= x-arctg(x) ?

[djenitoo]

Здравейте, част от курсовата ми работа е пълно изследване на f(x)= x-arctg(x)

Планът е:
1. ДМ
2. Четност, нечетност, периодичност
3. Граници
4. Пресечни точки с ординатната ос
5. Асимптоти - хор., вертикална, наклоненост
6. Първа производна
7. Интервали на растене и намаляване. Лок. есктремуми
8. Втора производна
9. Изпъкналост, вдлъбнатост, инфлексни точки
10. Таблица
11. Графика

Моето решение, което не съм сигурна, че е вярно:
1. ДМ:[tex]x\in(-inf;0)\cup(0;+inf)[/tex]

2. [tex]f(-x)=-x+arctg(x)=-f(x)[/tex]

=>нечетна функция

3.lim(x->-inf) x-arctg(x)= -inf (??)
lim(x->0;x<0) x-arctg(x)=-inf (??)
lim(x->0;x>0) x-arctg(x)=+inf (??)
lim(x->+inf) x-arctg(x)= +inf (??)

4.от [tex]lim(x->\pm ) x-arctg(x)=\pm inf[/tex] следва, че имаме вертикална асимптота.
Търсим наклоненост при - инф.

[tex]lim (x->-inf)\frac{x-arctg(x)}{ x} =\frac{x(x-(arctg(x)/x)}{ x}=1 - \frac{arctg(x)}{x }[/tex]

lim(x->-inf.)[f(x)-ax]=x-arctg(x)-[x-arctg(x)]=x-arctg(x)-x+arctg(x)=0

[f(x)-(ax+b)]=(x-arctg(x))-(x-arctg(x)+0)=x-arctg(x)-x+arctg(x)=0

y=x-arctg(x)+0

5.
f(0)=0-arctg(0)=0 =>няма пресечни точки с орд. ос (или се пресича в т.0 ?)

6. Първа производна е равно на x^2/1+x^2

7. f'(x)=0 => x^2=0 => x=0
f(x)>0 - интервали на растене
f(x)<0 - интервали на намаляване
имаме лок. минимум в т.0
xe(0;+inf) - расте
xe(-inf;0) - намалява

8. Втора производна е равно на: 2x/(1+x^2)^2

9. f''(x)=0 => 2x=0 => x=0
f"(x)>0 - изпъкнала в интервалите х(0;+безкрайност)
f"(x)<0 - вдлъбната в интервалите х(-безкрайност;0)

Графиката не знам как да я начертая, направила съм я подобна на тази която излиза в гугъл като напиша x-arctan(x)

Можете ли да ми кажете дали имам грешки. За границите не съм много сигурна, понеже нали arctg(x) в -безкр. е Пи/2. И съм объркана какво е решението на лим -безкр + Пи/2

Благодаря на всички отговорили предварително.

[Гост]

[tex]f(x)=x-arctgx[/tex]
1. ДМ: [tex](-\infty, +\infty)[/tex]
2.
четност: [tex]f(-x)=-x+arctg(-x)=-x-arctgx=-f(x)\Rightarrow[/tex] нечетна.
периодичност: Да допуснем, че е периодична с период [tex]P>0[/tex]. Тогава [tex]\forall x \in \mathbb{R}: f(x+P)=f(x)\Leftrightarrow x+P+arctg(x+P)=x+arctg(x)\Leftrightarrow P+arctg(x+P)=arctg(x)[/tex]. Сега за [tex]x=0\Rightarrow P+arctg(P)=arctg(0)\Rightarrow arctg(P)=-P[/tex]. Нека сега [tex]x=1\Rightarrow P+arctg(P+1)=\frac{\pi}{4}\Rightarrow P+(-P-1)=\frac{\pi}{4}[/tex], което не е вярно, следователно не е периодична.
3.
[tex]\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty-(-\frac{\pi}{2})=-\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty-(\frac{\pi}{2})=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to -0}f(x)=-0-(-0)=0[/tex]
[tex]\lim_{x\to +0}f(x)=0-(0)=0[/tex]
4.
[tex]f(x)=0\Leftrightarrow x=arctg(x)[/tex]. Имаме [tex]f'(x)=1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}\ge 0\Rightarrow f \uparrow[/tex]. Още имаме [tex]f(0)=0\Rightarrow f(x)=0 \Leftrightarrow x=0[/tex]. Единствената пресечна точка е [tex](0,0)[/tex].
5.
a) хоризонтални
[tex]\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty-(-\frac{\pi}{2})=-\infty[/tex]
[tex]\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty-(\frac{\pi}{2})=+\infty[/tex]
Значи няма хоризонтални
б) вертикални
Тъй като [tex]arctg(x) \to \infty \Leftrightarrow x\to \infty[/tex] не можем да имаме вертикални асимптоти
в) наклонени
[tex]\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x-arctg(x)}{x}[/tex]. И числител и знаменател клонят към безкрайност, затова използваме правилото на Лопитал: [tex]\lim_{x\to \infty}\frac{x-arctg(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}{(1-\frac{1}{1+x^2})}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{1+x^2}[/tex]. Използваме го още веднъж: [tex]\lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{1+x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{2x}=1[/tex]. Това е коефициентът [tex]k[/tex] в уравнението на наклонената асимптота [tex]y=kx+n[/tex]. Коефициентът [tex]n=\lim_{x\to \infty}{(f(x)-x)}=\lim_{x\to\infty}(-arctg(x))=-\lim_{x\to \infty}arctg(x)[/tex].
Имаме [tex]x\lim_{x\to -\infty}arctg(x)=\frac{\pi}{2}\Rightarrow[/tex] една вертикална симптота е [tex]y=x+\frac{\pi}{2}[/tex].
Имаме [tex]x\lim_{x\to +\infty}arctg(x)=-\frac{\pi}{2}\Rightarrow[/tex] друга вертикална симптота е [tex]y=x-\frac{\pi}{2}[/tex].
6.
[tex]f'(x)1-\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}[/tex]
7.
[tex]f'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\ge 0\Rightarrow f\uparrow \Leftrightarrow x\in (-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/tex]. Функцията не намалява. Първата производна се анулира в [tex]x=0[/tex]. Но първата производна не сменя своя знак отляво на 0 и отдясно на 0 и значи това не е локален екстремум. Следователно, няма локални екстремуми.
8.
[tex]f''(x)=\frac{2x}{(1+x^2)^2}[/tex]
9.
[tex]f''(x)>0\Leftrightarrow x>0\Rightarrow f(x)[/tex] е изпъкнала [tex]\Leftrightarrow x>0[/tex].
[tex]f''(x)<0\Leftrightarrow x<0\Rightarrow f(x)[/tex] е вдлъбната[tex]\Leftrightarrow x<0[/tex].
[tex]f''(x)=0\Leftrightarrow x=0[tex]. Втората производна си сменя знака там, значи е точка на инфлексия.
10. Таблица
11. Прикачена е графиката

[djenitoo]

Благодаря много за отговора! Изясниха ми се някои неща.